函数与方程 **知识结构：** ```mermaid graph TD A[函数与方程] --> B[基本概念] A --> C[解法] A --> D[应用] B --> B1[函数零点] B --> B2[方程根] B --> B3[关系] C --> C1[代数法] C --> C2[图像法] C --> C3[近似法] D --> D1[实际建模] D --> D2[优化问题] D --> D3[预测分析] ``` **基本概念：** 1. **函数零点：** ``` 定义：使函数值为0的自变量值 特点： - 对应方程的根 - 图像与x轴的交点横坐标 - 可能有多个、一个或没有 ``` 2. **零点存在定理：** ``` 定理： 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续， 且f(a)·f(b) < 0， 则在(a,b)内至少存在一个零点。 应用： - 证明方程有解 - 确定零点存在区间 - 估计解的个数 ``` 3. **函数与方程的关系：** ``` 对应关系： - 方程f(x) = 0 ⟺ 函数y = f(x)的零点 - 方程f(x) = g(x) ⟺ 函数y = f(x) - g(x)的零点 - 不等式f(x) > 0 ⟺ 函数y = f(x)在x轴上方的部分 ``` **求解方法：** 1. **代数法：** ``` 适用情况： - 一次方程 - 可因式分解的方程 - 特殊方程 步骤： 1. 化为标准形式 2. 选择合适方法 3. 求解方程 4. 检验结果 ``` 2. **图像法：** ``` 步骤： 1. 画出函数图像 2. 找出与x轴交点 3. 读出横坐标值 优点： - 直观明了 - 可估计解的个数 - 可判断解的范围 ``` 3. **近似法：** ``` 方法： 1. 二分法 2. 切线法 3. 迭代法 特点： - 可求出近似解 - 精度可控 - 适用范围广，严格按上述设计