幂函数 **知识结构：** ```mermaid graph TD A[幂函数] --> B[基本概念] A --> C[性质] A --> D[应用] B --> B1[定义] B --> B2[分类] B --> B3[特征] C --> C1[单调性] C --> C2[奇偶性] C --> C3[对称性] D --> D1[物理模型] D --> D2[几何模型] D --> D3[经济模型] ``` **基本概念：** 1. **定义：** ``` 形如y = xᵅ的函数（α为实数） 特点： - x为自变量 - α为指数 - 定义域根据α的不同而不同 ``` 2. **常见幂函数：** ``` 1. y = x：正比例函数 2. y = x²：二次函数 3. y = x³：三次函数 4. y = √x：平方根函数 5. y = ∛x：立方根函数 6. y = 1/x：反比例函数 ``` 3. **分类：** ``` 1. α为正整数：y = xⁿ 2. α为负整数：y = x⁻ⁿ 3. α为分数：y = x^(m/n) 4. α为无理数：y = x^α ``` **函数性质：** 1. **定义域：** ``` - α为整数时： * α > 0：R * α < 0：R\{0} - α为分数时： * 分母为偶数：[0,+∞) * 分母为奇数：R ``` 2. **值域：** ``` - α > 0：[0,+∞) - α < 0：(0,+∞) - α为奇数：R ``` 3. **单调性：** ``` - α > 0：在定义域内单调递增 - α < 0：在定义域内单调递减 ``` **实际应用：** 1. **物理应用：** ``` 案例：功率计算 模型：P = kv² 其中： P：功率 v：速度 k：常数 应用： - 能量消耗 - 效率分析 - 性能优化 ``` 2. **几何应用：** ``` 案例：相似图形 关系： - 周长比 = k - 面积比 = k² - 体积比 = k³ 应用： - 图形变换 - 模型设计 - 尺寸计算 ``` 3. **经济应用：** ``` 案例：规模效应 模型：C = kQ^α 其中： C：成本 Q：产量 α：规模系数 应用： - 成本分析 - 规模预测 - 效益评估 ```