对数函数 **知识结构：** ```mermaid graph TD A[对数函数] --> B[基本概念] A --> C[性质] A --> D[应用] B --> B1[定义] B --> B2[运算法则] B --> B3[换底公式] C --> C1[单调性] C --> C2[值域] C --> C3[图像] D --> D1[地震强度] D --> D2[声音强度] D --> D3[PH值] ``` **基本概念：** 1. **定义：** ``` 如果aˣ = N (a > 0, a ≠ 1)， 那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x = log_a N 特点： - a是底数，N是真数 - a > 0且a ≠ 1 - N > 0 ``` 2. **常用对数：** ``` 1. 常用对数：以10为底，记作lg x 2. 自然对数：以e为底，记作ln x 3. 二进制对数：以2为底，记作log₂ x ``` 3. **运算法则：** ``` 1. log_a (MN) = log_a M + log_a N 2. log_a (M/N) = log_a M - log_a N 3. log_a Mⁿ = n·log_a M 4. log_a a = 1 5. log_a 1 = 0 6. a^(log_a N) = N ``` **函数性质：** 1. **当a > 1时：** ``` - 定义域：(0,+∞) - 值域：R - 单调递增 - 图像特点： * 过点(1,0) * 向右上方倾斜 * x → +∞时，y → +∞ * x → 0⁺时，y → -∞ ``` 2. **当0 < a < 1时：** ``` - 定义域：(0,+∞) - 值域：R - 单调递减 - 图像特点： * 过点(1,0) * 向右下方倾斜 * x → +∞时，y → -∞ * x → 0⁺时，y → +∞ ``` 3. **共同特征：** ``` - 恒过点(1,0) - 图像连续、光滑 - 无对称性 - 定义域为(0,+∞) ``` **实际应用：** 1. **地震强度：** ``` 案例：里氏震级 模型：M = log(A/A₀) 其中： M：震级 A：地震波振幅 A₀：标准振幅 应用： - 地震强度测量 - 震级预测 - 风险评估 ``` 2. **声音强度：** ``` 案例：分贝计算 模型：L = 10lg(I/I₀) 其中： L：分贝值 I：声音强度 I₀：参考强度 应用： - 噪音测量 - 音响设计 - 环境评估 ``` 3. **pH值计算：** ``` 案例：酸碱度测定 模型：pH = -lg[H⁺] 其中： [H⁺]：氢离子浓度 应用： - 化学反应 - 水质检测 - 生物实验 ```