函数及其表示 **知识结构：** ```mermaid graph TD A[函数] --> B[基本概念] A --> C[表示方法] A --> D[性质] B --> B1[定义] B --> B2[定义域] B --> B3[值域] C --> C1[解析法] C --> C2[图像法] C --> C3[列表法] D --> D1[单调性] D --> D2[奇偶性] D --> D3[周期性] ``` **基本概念：** 1. **函数定义：** ``` 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f， 使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应， 则称f为从A到B的函数。 ``` 2. **三要素：** - 定义域：自变量x的取值范围 - 值域：函数值y的取值范围 - 对应关系：x与y之间的关系 3. **特征：** - 确定性：输入确定，输出唯一 - 对应性：定义域中每个元素都有对应值 - 唯一性：一个输入对应一个输出 **表示方法：** 1. **解析法：** ``` 用数学表达式表示： - y = x² - y = sin x - y = log₂x ``` 2. **图像法：** ``` 用坐标系中的图形表示： - 直线 - 抛物线 - 正弦曲线 ``` 3. **列表法：** ``` 用表格形式表示： x | 1 | 2 | 3 | 4 y | 1 | 4 | 9 | 16 ``` **函数性质：** 1. **单调性：** ``` 定义： - 单调递增：x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂) - 单调递减：x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂) 判断方法： - 观察图像 - 求导数 - 数学归纳 ``` 2. **奇偶性：** ``` 奇函数：f(-x) = -f(x) - 图像关于原点对称 - 例如：y = x³, y = sin x 偶函数：f(-x) = f(x) - 图像关于y轴对称 - 例如：y = x², y = cos x ``` 3. **周期性：** ``` 定义： 存在T > 0，使得对于任意x，都有f(x+T) = f(x) 例如： - sin x：周期为2π - cos x：周期为2π - tan x：周期为π ``` **实际应用：** 1. **物理应用：** ``` 案例：简谐运动 模型：y = A sin(ωt + φ) 应用： - 位移-时间关系 - 速度-时间关系 - 加速度-时间关系 ``` 2. **经济应用：** ``` 案例：成本分析 模型：C = ax² + bx + c 应用： - 成本函数 - 收益函数 - 利润函数 ``` 3. **工程应用：** ``` 案例：信号处理 模型：y = A sin(2πft) 应用： - 信号调制 - 波形分析 - 频率响应 ```