集合 **知识结构：** ```mermaid graph TD A[集合] --> B[基本概念] A --> C[集合运算] A --> D[应用] B --> B1[集合的定义] B --> B2[元素] B --> B3[表示方法] C --> C1[交集] C --> C2[并集] C --> C3[补集] D --> D1[数据分析] D --> D2[逻辑推理] D --> D3[实际应用] ``` **基本概念：** 1. **集合的定义：** - 由确定的对象组成的整体 - 元素：组成集合的对象 - 集合间的关系：包含、相等、不相交 2. **集合的表示方法：** ``` 1. 列举法：{1, 2, 3, 4, 5} 2. 描述法：{x | x > 0} 3. 文氏图：图示法 ``` 3. **特殊集合：** - 空集：∅ - 全集：U - 自然数集：N - 整数集：Z - 有理数集：Q - 实数集：R **集合运算：** 1. **交集（∩）：** ``` A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} 性质： - 交换律：A ∩ B = B ∩ A - 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) - 分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ``` 2. **并集（∪）：** ``` A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} 性质： - 交换律：A ∪ B = B ∪ A - 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) - 分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ``` 3. **补集（∁）：** ``` ∁ᵤA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} 性质： - ∁ᵤ(∁ᵤA) = A - ∁ᵤ(A ∩ B) = ∁ᵤA ∪ ∁ᵤB - ∁ᵤ(A ∪ B) = ∁ᵤA ∩ ∁ᵤB ``` **实际应用：** 1. **数据分析：** ``` 案例：学生选课统计 问题： - 同时选修数学和物理的人数 - 至少选修一门课的人数 - 两门课都不选的人数 解决： 使用文氏图分析集合关系 ``` 2. **逻辑推理：** ``` 案例：真假命题判断 方法： - 利用集合运算规律 - 使用文氏图验证 - 反证法证明 ``` 3. **实际问题：** ``` 案例：商品分类管理 应用： - 商品分类 - 库存管理 - 销售分析，严格按上述设计