反比例函數的性質 **知識結構：** ```mermaid graph TD A[反比例函數性質] --> B[基本性質] A --> C[圖像變換] A --> D[重要結論] B --> B1[定義域和值域] B --> B2[單調性] B --> B3[奇偶性] C --> C1[平移變換] C --> C2[伸縮變換] C --> C3[對稱變換] D --> D1[面積性質] D --> D2[交點問題] D --> D3[最值問題] ``` **基本性質詳解：** 1. **定義域和值域：** - 定義域：{x | x≠0} - 值域：{y | y≠0} - 函數在定義域內連續 - 圖像不經過原點 2. **單調性：** 當 k>0 時： ``` - 在(-∞,0)上單調遞減 - 在(0,+∞)上單調遞減 - 注意：不能說在整個定義域上遞減 ``` 當 k<0 時： ``` - 在(-∞,0)上單調遞增 - 在(0,+∞)上單調遞增 ``` 3. **奇偶性：** - f(-x) = k/(-x) = -k/x = -f(x) - 反比例函數是奇函數 - 圖像關於原點對稱 **重要性質和定理：** 1. **面積性質：** ``` 設反比例函數y = k/x與直線相交， 形成的矩形面積恒等於|k| 證明： 設交點為(a, k/a) 矩形面積 = |a| × |k/a| = |k| ``` 2. **對稱性質：** ``` - 關於原點中心對稱 - 關於直線y=x和y=-x軸對稱 - 第一、三象限的分支關於原點對稱 - 第二、四象限的分支關於原點對稱 ``` 3. **漸近線性質：** ``` - 坐標軸是漸近線 - 圖像無限接近但永不相交 - 距離坐標軸越遠，函數值變化越慢 ``` **函數圖像的變換：** 1. **平移變換：** ``` y = k/(x-h) + v - 向右平移h個單位 - 向上平移v個單位 - 漸近線變為x=h和y=v ``` 2. **伸縮變換：** ``` y = ak/x - |a|>1：y方向拉伸 - 0<|a|<1：y方向壓縮 - a<0：圖像翻折 ``` 3. **對稱變換：** ``` y = k/(-x)：關於y軸對稱 y = -k/x：關於x軸對稱 ``` **練習題集：** 1. **基礎題：** ``` 已知反比例函數y = k/x的圖像經過點(2,3)， 求： 1) 比例系數k 2) 函數表達式 3) 是否經過點(-2,-3) 解析： 1) 代入點(2,3)：3 = k/2 k = 6 2) y = 6/x 3) 代入點(-2,-3)： -3 = 6/(-2) = -3 所以經過點(-2,-3) ``` 2. **中檔題：** ``` 已知反比例函數y = k/x，當x∈[1,3]時， y的最大值與最小值的差為4，求k的值。 解析： 1) 當k>0時，函數在[1,3]上遞減 最大值：y(1) = k 最小值：y(3) = k/3 差值：k - k/3 = 2k/3 = 4 所以k = 6 2) 當k<0時，函數在[1,3]上遞增 最小值：y(1) = k 最大值：y(3) = k/3 差值：k/3 - k = -2k/3 = 4 所以k = -6