视频字幕
相似三角形在实际测量中有重要应用。最经典的例子是利用太阳光影测量树的高度。当太阳光照射时，人和树都会产生影子，形成两个相似的直角三角形。由于太阳光线平行，两个三角形的对应角相等，因此三角形相似。根据相似三角形的性质，对应边成比例，即人的高度与人的影长之比等于树的高度与树的影长之比。通过测量人的身高、人的影长和树的影长，就可以计算出树的高度。这种方法简单实用，体现了数学在实际生活中的重要价值。
地图比例尺是相似原理在地理测量中的重要应用。比例尺表示地图上的距离与实际距离的比值关系。例如，比例尺1比10万意味着地图上1厘米代表实际距离10万厘米，即1公里。利用这个比例关系，我们可以根据地图上测量的距离计算实际距离。如果地图上A市到B市的距离是3厘米，那么实际距离就是3厘米乘以10万，等于30万厘米，也就是3公里。同样的原理也适用于面积计算，实际面积等于图上面积乘以比例尺的平方。这种应用在城市规划、交通设计和旅行路线规划中都非常重要。
相似原理在工程建筑模型设计中发挥着重要作用。建筑师在设计建筑物时，通常先制作按比例缩小的模型来展示设计效果。在制作模型时，必须确定合适的比例尺，并严格保持各部分的比例关系。例如，如果选择1比50的比例尺，那么模型中每1厘米代表实际建筑中的50厘米。根据相似三角形的性质，长度比等于相似比k，面积比等于k的平方，体积比等于k的立方。这意味着如果模型的长度是20厘米，那么实际建筑的长度就是20乘以50等于1000厘米，也就是10米。同样地，如果要计算材料用量，就需要考虑体积比，即50的立方等于125000倍的关系。这种精确的比例计算确保了模型能够准确反映实际建筑的各项特征。
现在我们来解析一道关于相似三角形的基础练习题。题目给出在三角形ABC中，DE平行于BC，且AD与DB的比值为2比3，要求AE与EC的比值以及两个三角形的面积比。首先，根据平行线分线段成比例的性质，当DE平行于BC时，有AD比DB等于AE比EC。因此AE与EC的比值也是2比3。接下来计算面积比。由于DE平行于BC，三角形ADE与三角形ABC相似。相似比等于AD与AB的比值。因为AD比DB等于2比3，所以AD比AB等于2比5。根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即2比5的平方，等于4比25。这道题体现了平行线性质和相似三角形面积比计算的重要应用。
接下来我们分析一道中档证明题，展示相似三角形判定方法的灵活运用。题目要求证明在三角形ABC中，当D、E分别是BC、AC上的点，且BD比DC等于2比3，AE比EC等于3比2时，DE平行于AB。证明的关键在于运用分点定理和平行线的判定方法。首先，根据给定条件，点D将BC分成2比3的两段，点E将AC分成3比2的两段。通过坐标计算或比例关系分析，我们可以确定DE与AB具有相同的方向向量或斜率。根据平行线的判定定理，当两条直线的斜率相等时，这两条直线平行。因此可以得出DE平行于AB的结论。这种证明方法体现了几何中比例关系与平行线性质的密切联系，是解决相似三角形问题的重要技巧。