相似三角形的判定与性质 **判定定理：** 1. **两角相等：** ``` 如果两个三角形有两个对应角相等， 那么这两个三角形相似。 证明要点： - 第三个角也相等（角和为180°） - 对应边成比例 ``` 2. **一角相等且对应边成比例：** ``` 如果两个三角形有一个角相等， 且这个角的两边对应成比例， 那么这两个三角形相似。 证明要点： - 利用全等证明 - 构造辅助线 ``` 3. **三边成比例：** ``` 如果两个三角形的三边对应成比例， 那么这两个三角形相似。 证明要点： - 利用余弦定理 - 证明对应角相等 ``` **相似三角形的性质：** 1. **比例关系：** ``` - 对应边的比等于相似比 - 对应高的比等于相似比 - 对应中线的比等于相似比 - 对应角平分线的比等于相似比 ``` 2. **面积关系：** ``` - 面积比等于相似比的平方 - S₁:S₂ = k²:1（k为相似比） ``` 3. **其他关系：** ``` - 对应角平分线的比 - 对应高线的比 - 对应中线的比

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相似三角形是几何学中的重要概念。两个三角形相似，意味着它们的对应角相等，对应边成比例。相似比是对应边长度的比值，通常用k表示。与全等三角形不同，相似三角形的形状相同但大小可以不同。图中展示了两个相似三角形，大三角形与小三角形的相似比为2比1。 两角相等是判定三角形相似的第一个定理。如果两个三角形有两个对应角相等，那么第三个角也必然相等，因为三角形内角和为180度。图中展示的两个三角形，角A等于角A'都是60度，角B等于角B'都是50度，因此角C也等于角C'都是70度。根据两角相等判定定理，这两个三角形相似。 边角边判定是第二个相似三角形判定定理。当两个三角形有一个角相等，且这个角的两边对应成比例时，三角形相似。图中两个三角形的角A都等于60度，边AB与边A'B'的比是6比3等于2，边AC与边A'C'的比是4比2也等于2。由于角相等且两边成比例，根据边角边判定定理，这两个三角形相似。证明时可以通过构造辅助线和利用全等三角形来完成。 三边成比例是第三个相似三角形判定定理。当两个三角形的三边对应成比例时，三角形相似。图中展示的两个三角形，边AB与A'B'的比是6比3等于2，边BC与B'C'的比是4比2等于2，边CA与C'A'的比是5比2.5也等于2。三边的比例都相等，因此这两个三角形相似。证明时可以利用余弦定理，通过边长关系推导出对应角相等，从而证明三角形相似。 相似三角形具有重要的比例性质。对应边的比等于相似比，这是最基本的性质。除此之外，对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。图中展示了两个相似比为2的三角形，可以看到边长比是6比3等于2，高的比是2.6比1.3等于2，中线和角平分线的比也都等于2。这些比例关系在解决几何问题时非常有用。