反比例函数的应用 **实际应用案例：** 1. **物理应用：** ``` 案例：波义耳定律 在定温下： P·V = 常数 其中： P：气体压强 V：气体体积 应用： - 计算压强变化 - 预测体积变化 - 分析气体状态 ``` 2. **经济应用：** ``` 案例：成本分析 单价·数量 = 总价 当总价固定时： 单价 = 常数/数量 应用： - 定价策略 - 成本控制 - 利润分析 ``` 3. **工程应用：** ``` 案例：齿轮传动 转速·齿数 = 常数 应用： - 设计传动比 - 计算转速 - 优化性能 ``` **函数图像的变换：** 1. **平移变换：** ``` y = k/(x-h) + v - 向右平移h个单位 - 向上平移v个单位 ``` 2. **伸缩变换：** ``` y = ak/x - |a|>1：y方向拉伸 - 0<|a|<1：y方向压缩 ``` 3. **对称变换：** ``` y = k/(-x)：关于y轴对称 y = -k/x：关于x轴对称 ``` **练习题集：** 1. **基础题：** ``` 已知反比例函数y = k/x的图像经过点(2,3)， 求： 1) 比例系数k 2) 函数表达式 3) 是否经过点(-2,-3) 解析： 1) 代入点(2,3)：3 = k/2 k = 6 2) y = 6/x 3) 代入点(-2,-3)： -3 = 6/(-2) = -3 所以经过点(-2,-3) ``` 2. **中档题：** ``` 已知反比例函数y = k/x与一次函数y = 2x-1交于点A、B， 且A、B的横坐标分别为1和2，求k的值。 解析： 1) A点横坐标为1，代入得： k/1 = 2·1-1 k = 1 2) B点横坐标为2，代入验证： k/2 = 2·2-1 1/2 = 3 不满足 3) 继续尝试k = 3： 3/2 = 2·2-1 = 3 满足条件 4) 所以k = 3 ``` 3. **难度题：** ``` 已知反比例函数y = k/x与圆x² + y² = 1相交于A、B两点， 求k的取值范围。 解析： 1) 将y = k/x代入圆的方程： x² + (k/x)² = 1 2) 整理得：x⁴ - x² + k² = 0 3) 令t = x²，得：t² - t + k² = 0 4) 要有实根，判别式≥0： 1 - 4k² ≥ 0 5) 解得：|k| ≤ 1/2 ``` **解题技巧：** 1. **求函数表达式：** - 利用点的坐标求k - 验证其他已知条件 - 注意k≠0的条件 2. **图像问题：** - 利用对称性 - 注意渐近线 - 考虑单调性 3. **应用问题：** - 建立函数模型 - 分析变量关系 - 解释实际意义 **常见错误分析：** 1. **概念错误：** - 忽略定义域限制 - 混淆正反比例 - 渐近线理解错误 2. **计算错误：** - 符号错误 - 化简错误 - 代入错误 3. **应用错误：** - 模型建立错误 - 条件使用不当 - 结果解释有误 **知识点联系：** 1. **与一次函数的联系：** - 图像特征对比 - 交点问题 - 应用场景 2. **与二次函数的联系：** - 图像特征对比 - 交点问题 - 最值问题 3. **与实际的联系：** - 物理规律 - 经济规律 - 工程应用 ---