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组合和排列是数学中两种重要的计数方法。排列考虑元素的顺序，而组合不考虑顺序。比如从三个不同颜色的球A、B、C中选择两个球，如果考虑顺序，有AB、BA、AC、CA、BC、CB共6种排列；如果不考虑顺序，只有AB、AC、BC共3种组合。理解这个区别是掌握组合排列的关键。
现在我们来推导排列公式。从n个不同元素中取r个元素进行排列时，第一个位置有n种选择，第二个位置有n减1种选择，第三个位置有n减2种选择，依此类推，第r个位置有n减r加1种选择。因此排列数等于n乘以n减1乘以n减2一直乘到n减r加1，这可以写成n的阶乘除以n减r的阶乘。以5个人排成3人队伍为例，第一个位置有5种选择，第二个位置有4种选择，第三个位置有3种选择，总共有5乘以4乘以3等于60种排列方法。
现在我们从排列公式推导组合公式。组合不考虑元素的顺序，这意味着同一组合对应多种排列。具体来说，每r个元素可以排列成r的阶乘种不同的排列，但它们都对应同一个组合。因此，组合数等于排列数除以r的阶乘。以5个学生中选3个组成小组为例，如果选择学生A、B、C，它们可以排列成ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA共6种排列，但只对应1种组合。所以组合公式是C(n,r)等于n的阶乘除以r的阶乘乘以n减r的阶乘。
现在我们通过具体例题来理解排列的应用。第一个例题：8个人排成一排有多少种方法？这是全排列问题，答案是8的阶乘等于40320种。第二个例题：从10个数字中选5个排成密码有多少种方法？这是部分排列，使用公式P(10,5)等于10的阶乘除以5的阶乘，即10乘以9乘以8乘以7乘以6等于30240种。排列问题的关键是要考虑元素的顺序，不同的排列顺序代表不同的结果。
现在我们通过具体例题来理解组合的应用。第一个例题：从12个人中选5个人组成委员会有多少种方法？这是基本组合问题，使用公式C(12,5)等于12的阶乘除以5的阶乘乘以7的阶乘，结果是792种。第二个例题验证组合数的对称性质：C(n,r)等于C(n,n-r)。比如C(8,3)等于C(8,5)都等于56。这个性质说明从n个元素中选r个，与选择剩下的n-r个在数学上是等价的。组合问题的关键是不考虑选择的顺序。