视频字幕
导数概念源于物理中的瞬时速度问题。考虑一个物体的位移函数s(t)等于t的平方，我们想求t等于2秒时的瞬时速度。首先计算平均速度，它等于位移变化量除以时间变化量。对于我们的例子，平均速度等于s(2+h)减去s(2)，再除以h。当h逐渐趋近于0时，割线的斜率就趋近于切线的斜率，这就是瞬时速度，也就是导数的概念。
现在我们正式推导导数的数学定义。从差商开始，差商表示函数在区间上的平均变化率，等于函数值的变化量除以自变量的变化量。当自变量的变化量趋近于零时，差商的极限就是导数。导数有两种等价的定义形式，一种用delta x表示，另一种用h表示。几何上，导数表示切线的斜率；代数上，导数表示函数的瞬时变化率。
导数的几何意义是函数图像在某点处切线的斜率。当导数大于零时，切线向上倾斜，函数在该点递增；当导数小于零时，切线向下倾斜，函数在该点递减；当导数等于零时，切线水平，函数在该点可能达到极值。我们可以通过观察不同函数如抛物线和正弦函数在各点的切线变化来理解这一几何意义。
现在我们用导数定义来计算具体函数的导数。第一个例子是f(x)等于x的平方。我们将x加h的平方减去x的平方，然后除以h，再求h趋于0的极限。展开后得到2xh加h的平方除以h，约去h后得到2x加h，当h趋于0时结果是2x。第二个例子是f(x)等于根号x。这里需要用到有理化技巧，分子分母同时乘以根号x加h加根号x，最终得到导数是1除以2倍根号x。