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极限是微积分中最基础也是最重要的概念之一。它描述了当自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。让我们通过一个简单的例子来理解这个概念。考虑函数f(x)=x，当x逐渐接近2时，函数值也逐渐接近2。虽然x可能永远不会精确等于2，但它可以无限接近2，此时函数值也无限接近2。这就是极限的直观含义：无限接近但不一定到达。
在函数图像中，极限有着清晰的几何意义。考虑函数f(x)等于二分之一x的平方加二分之一。当我们要求x趋近于2时的极限，就是观察当点沿着函数曲线逐渐接近x等于2这条竖直线时，对应的y坐标趋近于什么值。从图像可以看出，当x从右侧逐渐接近2时，函数值逐渐接近2.5。这就是函数在x等于2处的极限值。
在某些函数中，从不同方向接近同一点时，函数值可能趋向不同的值。这就引出了左极限和右极限的概念。左极限是从左侧接近目标点时函数的极限值，右极限是从右侧接近时的极限值。在这个分段函数例子中，当x从左侧接近2时，函数值趋近于2.5；当x从右侧接近2时，函数值趋近于2。由于左极限不等于右极限，所以函数在x等于2处的极限不存在。只有当左极限等于右极限时，函数在该点的极限才存在。
极限的严格数学定义是用ε-δ语言表述的。这个定义说：函数f(x)当x趋近于a时的极限是L，当且仅当对于任意给定的正数ε，总能找到对应的正数δ，使得当x在a的δ邻域内（但不等于a）时，f(x)就在L的ε邻域内。从几何上看，红色区域表示L的ε邻域，绿色区域表示a的δ邻域。当我们缩小ε时，相应的δ也会变小，但总能找到合适的δ值。这个定义精确地刻画了'无限接近'的概念。
极限的运算法则使我们能够通过已知的简单极限来计算复杂函数的极限。主要的运算法则包括：和的极限等于极限的和，积的极限等于极限的积，商的极限等于极限的商（当分母的极限不为零时）。让我们通过一个具体例子来看：设f(x)等于x，g(x)等于0.5x加0.5。当x趋近于2时，f(x)的极限是2，g(x)的极限是1.5，根据和的极限法则，f(x)加g(x)的极限就等于2加1.5等于3.5。这些法则大大简化了极限的计算过程。