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椭圆是圆锥曲线中的重要一员。它定义为平面上到两个定点距离之和为常数的点的轨迹。这两个定点称为焦点，距离之和等于长轴长度。椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b²等于1，其中a是长半轴，b是短半轴，它们与焦距c满足c²等于a²减b²的关系。
仿射变换是线性代数中的重要概念，它是保持直线性和平行性的几何变换。仿射变换可以用矩阵形式表示，包含线性变换矩阵和平移向量。它包括缩放、旋转、剪切和平移等基本变换类型。通过组合这些基本变换，可以实现复杂的几何变形，同时保持图形的基本几何性质。
现在我们来推导椭圆在仿射变换下的数学表达式。首先从标准椭圆方程开始，然后应用仿射变换矩阵。通过坐标替换，将变换后的坐标表示为原坐标的函数。最后将这些关系代入标准椭圆方程，经过展开和整理，得到变换后椭圆的一般二次方程形式。这个推导过程展示了椭圆在仿射变换下仍保持二次曲线的性质。
现在我们通过动态演示来观察不同仿射变换对椭圆形状的影响。首先是均匀缩放，椭圆整体放大但形状不变。非均匀缩放会改变椭圆的长短轴比例。旋转变换使椭圆绕原点旋转一定角度。剪切变换会使椭圆产生倾斜效果。无论经过何种仿射变换，椭圆始终保持其椭圆性质，这是仿射变换的重要特征。
让我们通过一个具体的数值例题来演示椭圆仿射变换的计算方法。已知标准椭圆方程x²/4 + y²/1 = 1，应用变换矩阵进行仿射变换。首先建立坐标变换关系，然后通过逆变换求出原坐标与新坐标的关系。将这些关系代入原椭圆方程，经过展开和整理，得到变换后椭圆的新方程。图中可以看到变换前后椭圆的对比，关键点的位置变化清晰可见。