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仿射变换是几何学中的重要概念，它是一类保持直线性和平行性的几何变换。仿射变换包括平移、旋转、缩放和剪切等基本类型。其核心特征是直线变换后仍为直线，平行线保持平行，比例关系得以保持。这些性质使得仿射变换在计算机图形学、机器人学等领域有广泛应用。
仿射变换可以用数学公式精确表达。基本形式为x'等于ax加by加e，y'等于cx加dy加f。这可以进一步表示为矩阵形式，使用齐次坐标系统。在变换矩阵中，a和d控制缩放，b和c控制剪切，e和f控制平移。这种矩阵表示法使得多个变换的复合变得简单，只需要矩阵相乘即可。
现在我们来推导各种基本仿射变换的矩阵形式。平移变换矩阵在对角线上为1，平移量在最后一列。旋转变换矩阵使用三角函数，余弦值在对角线，正弦值在反对角线位置。缩放变换矩阵在对角线上放置缩放因子。剪切变换矩阵在非对角线位置放置剪切参数。每种变换都有其特定的几何意义和数学表达。
变换复合是仿射变换的重要性质。多个变换的复合可以通过矩阵相乘来实现，但要注意变换的顺序很重要。先旋转后平移与先平移后旋转会得到不同的结果。逆变换的计算需要求矩阵的逆，公式涉及行列式和伴随矩阵。当行列式为零时，变换不可逆，这通常对应于降维变换。