垂径定理与圆周角定理 **垂径定理：** 1. **定理内容：** - 垂直于弦的直径平分这条弦 - 垂直于弦的直径也平分弦所对的两条弧 2. **证明方法：** ``` 1. 作直径PQ⊥弦AB于点M 2. 连接PA、PB 3. 在△PAB中： - PM是高 - PM⊥AB - P到A、B的距离相等（半径） 4. 由全等三角形可证AM=MB ``` 3. **应用：** - 求弦的长度 - 求弦的中点 - 作弦的垂直平分线 **圆周角定理：** 1. **定理内容：** - 圆周角等于它所对的圆心角的一半 - 同弧或等弧所对的圆周角相等 - 半圆所对的圆周角是直角 2. **证明方法：** ``` 1. 分三种情况： - 圆心在圆周角的一边上 - 圆心在圆周角的内部 - 圆心在圆周角的外部 2. 利用三角形的内角和 3. 利用等腰三角形的性质 ``` 3. **推论：** - 直径所对的圆周角是90° - 锐角所对的弧大于180° - 钝角所对的弧小于180°

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垂径定理是圆的重要性质之一。定理内容是：垂直于弦的直径平分这条弦，同时也平分弦所对的两条弧。在这个图形中，直径PQ垂直于弦AB，交点为M。根据垂径定理，点M是弦AB的中点，即AM等于MB。同时，直径PQ也平分了弦AB所对的两条弧，使得弧AP等于弧BP，弧AQ等于弧BQ。 现在我们来证明垂径定理。首先作直径PQ垂直于弦AB，交点为M。然后连接PA和PB。在直角三角形PAM和PBM中，PM垂直于AB是已知条件，PA等于PB因为它们都是半径，PM是公共边。根据直角三角形全等的判定定理HL，我们可以得出三角形PAM全等于三角形PBM。因此对应边AM等于BM，即M是弦AB的中点。这就完成了垂径定理的证明。 现在我们通过一个具体例题来应用垂径定理。题目是：已知圆O的半径为5厘米，弦AB的长度为8厘米，求弦心距OM的长度。首先，我们作从圆心O到弦AB的垂线，垂足为M。根据垂径定理，M是弦AB的中点，所以AM等于MB，都等于4厘米。在直角三角形OAM中，我们可以应用勾股定理：OA的平方等于OM的平方加上AM的平方。即25等于OM的平方加上16，所以OM的平方等于9，因此OM等于3厘米。 现在我们学习圆周角定理。圆周角定理有三个重要内容：第一，圆周角等于它所对的圆心角的一半，如图中角ACB等于角AOB的一半。第二，同弧或等弧所对的圆周角相等，图中角ACB和角ADB都对应弧AB，所以它们相等。第三，半圆所对的圆周角是直角，当AB是直径时，圆周角ACB等于90度。这些性质在几何证明和计算中非常有用。 圆周角定理的证明需要分三种情况讨论。第一种情况是圆心在圆周角的一边上，如图所示。我们连接OC，由于OA等于OC都是半径，所以三角形OAC是等腰三角形。因此角OAC等于角OCA，设为α。根据三角形内角和定理，角AOC等于180度减去2α。而圆周角ACB就等于α，正好是圆心角AOB的一半。第二种情况是圆心在圆周角内部，第三种情况是圆心在圆周角外部，都可以用类似的方法证明圆周角等于圆心角的一半。