视频字幕
曲线运动是高中物理的重要概念。当物体的运动轨迹为曲线时，我们称之为曲线运动。曲线运动产生的根本条件是合外力与速度方向不共线。当合外力与速度方向共线时，物体做直线运动；当合外力与速度方向不共线时，物体就会做曲线运动。图中蓝色轨迹表示直线运动，红色轨迹表示曲线运动。
在曲线运动中，速度方向具有重要特点。物体在任意时刻的速度方向都沿着该点轨迹的切线方向。这是曲线运动的基本特征。对于圆周运动，速度大小保持不变，但方向时刻在改变。对于抛物运动，速度的大小和方向都在不断变化。速度的瞬时性可以用极限的概念来定义。
现在我们来推导向心加速度的表达式。考虑物体在圆周上从A点运动到B点，速度从v1变为v2。虽然速度大小不变，但方向改变了。我们建立速度矢量三角形，利用相似三角形的性质，可以得到速度变化量与弧长的关系。然后应用极限思想，当时间间隔趋于零时，就得到了向心加速度公式a等于v的平方除以r，方向指向圆心。
根据牛顿第二定律，既然物体有向心加速度，就必须有力来产生这个加速度，这个力就是向心力。向心力的大小等于质量乘以向心加速度，即F等于mv的平方除以r，也可以写成m乘以ω的平方乘以r。向心力的方向始终指向圆心，这是它最重要的特点。在实际问题中，向心力可以由重力、弹力、摩擦力等各种力来提供。
现在我们通过两个典型例题来加深理解。第一个例题是水平面圆周运动：质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动。进行受力分析，小球受到重力、支持力和绳子拉力。由于是水平面运动，重力和支持力平衡，向心力完全由绳子拉力提供，所以T等于mv平方除以r。第二个例题是竖直面圆周运动，重点分析最高点的临界条件。在最高点，重力提供向心力，得到临界速度v等于根号gr。