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数列与不等式是高中数学的重要内容，它们的综合应用体现了数学的严谨性和逻辑美。等差数列的通项公式为a_n等于a_1加上n减1乘以公差d，求和公式为S_n等于n乘以首项加末项的和除以2。等比数列的通项公式为a_n等于a_1乘以q的n减1次方，求和公式为S_n等于a_1乘以1减q的n次方除以1减q。基本不等式包括a平方加b平方大于等于2ab，以及算术平均数大于等于几何平均数。这些公式为我们解决复杂问题提供了有力工具。
利用不等式证明数列单调性是数列理论的重要应用。证明方法是比较相邻项的大小关系。以数列a_n等于n除以n加1为例，我们计算a_{n+1}减去a_n。首先写出a_{n+1}等于n加1除以n加2，然后计算差值，通分得到n加1的平方减去n乘以n加2，全部除以n加1乘以n加2。展开分子得到n平方加2n加1减去n平方减2n，化简后得到1除以n加1乘以n加2。由于分母恒为正，所以差值大于0，因此数列单调递增。
运用不等式确定数列的上下界是分析数列性质的重要方法。以调和级数部分和为例，b_n等于1加二分之一加三分之一一直加到n分之一。通过放缩法分析其有界性，我们将小项合并为大项。比如三分之一和四分之一都大于四分之一，五分之一到八分之一都大于八分之一，这样可以构造出便于计算的不等式。经过放缩后，我们得到b_n大于1加二分之一加二分之一加二分之一，这样无限多个二分之一相加，说明调和级数部分和趋向无穷大，因此是无界的。
裂项相消法和错位相减法在不等式证明中有重要应用。以证明1除以1乘2加上1除以2乘3一直加到1除以n乘n加1小于1为例。关键是找到合适的裂项形式，我们发现1除以k乘k加1等于1除以k减去1除以k加1。因此原式可以写成1减二分之一加上二分之一减三分之一，一直加到n分之一减去n加1分之一。这是一个望远镜级数，中间项相互抵消，最终得到1减去n加1分之一，显然小于1。这种方法的关键是找到合适的裂项形式，使得求和后能够约简，从而得到简洁的结果。
通过综合应用实例，我们整合数列与不等式知识解决复杂问题。考虑递推关系a_{n+1}等于a_n加2除以2，初值a_1等于0。首先证明单调性：a_{n+1}减a_n等于2减a_n除以2，由于a_n小于2，所以差值大于0，数列单调递增。然后证明有界性：通过数学归纳法可证明a_n小于2对所有n成立。最后估计收敛速度：设极限为L，则L等于L加2除以2，解得L等于2。通过分析|a_n减2|，可以证明误差的上界为2除以2的n减1次方，这表明收敛速度是指数级的。因此数列单调递增有界，收敛到2，且收敛速度很快。