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导数是微积分中的核心概念，它的几何意义是函数图像上某点处切线的斜率。导数的定义是当自变量的增量趋于零时，函数增量与自变量增量比值的极限。在图像上，我们可以看到当Δx逐渐减小时，割线逐渐接近切线，割线的斜率就趋向于该点处切线的斜率，这就是导数值。
导数的符号与函数的单调性有着直接的对应关系。当导数大于零时，函数在该区间内单调递增；当导数小于零时，函数在该区间内单调递减。导数等于零的点称为驻点，这些点可能是函数的极值点。通过分析导数的符号变化，我们可以准确判断函数的增减性，并找出所有的关键点。
极值点的判定需要同时使用一阶导数和二阶导数。首先，极值点的必要条件是一阶导数等于零。然后通过二阶导数的符号来判定极值类型：二阶导数大于零时为极小值点，小于零时为极大值点。以函数f(x)=x³-3x²+2为例，求得一阶导数为3x²-6x，令其等于零得到x=0和x=2两个驻点。计算二阶导数6x-6，在x=0处二阶导数为负六，所以是极大值点；在x=2处二阶导数为正六，所以是极小值点。
函数的凹凸性通过二阶导数来判断。当二阶导数大于零时，函数图像向上凹，称为凹函数；当二阶导数小于零时，函数图像向下凹，称为凸函数。二阶导数等于零且变号的点称为拐点，是凹凸性发生改变的位置。继续以函数f(x)=x³-3x²+2为例，其二阶导数为6x-6。当x小于1时，二阶导数为负，函数向下凹；当x大于1时，二阶导数为正，函数向上凹。在x=1处，二阶导数等于零且变号，所以(1,0)是拐点。
现在我们综合运用导数知识来完整分析函数f(x)=x⁴-4x³+6x²的图像特征。首先求一阶导数得到4x³-12x²+12x，分解因式为4x(x-1)(x-3)，可得驻点为x=0、1、3。再求二阶导数得到12x²-24x+12，等于12(x-1)²。通过二阶导数判断：在x=0和x=3处二阶导数大于零，为极小值点；在x=1处二阶导数等于零但不变号，为拐点。分析单调性：函数在(-∞,0)和(1,3)上递减，在(0,1)和(3,+∞)上递增。这样我们就完整地描绘出了函数的图像特征。