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勾股定理是几何学中最重要的定理之一，它描述了直角三角形三边之间的关系。定理的数学表达式是a的平方加b的平方等于c的平方，其中c是斜边，a和b是两条直角边。这个定理在中国古代被称为勾股定理，在西方被称为毕达哥拉斯定理，体现了数学知识的普遍性。
勾股定理可以通过几何图形直观理解。我们在直角三角形的三边上分别构造正方形，用不同颜色区分。红色正方形的面积是a的平方，绿色正方形的面积是b的平方，黄色正方形的面积是c的平方。定理告诉我们，两个小正方形的面积之和恰好等于大正方形的面积，这就是勾股定理的几何本质。
欧几里得在《几何原本》中给出了勾股定理的经典证明。他以直角三角形ABC为基础，在三边上分别构造正方形。然后添加辅助线，将大正方形进行巧妙的分割。通过严格的几何推理，证明了斜边上的正方形面积等于两条直角边上正方形面积的和。这个证明方法体现了古希腊几何学的严谨性和优美性。
证明的关键步骤是利用全等三角形的性质。首先识别出三角形ABD与三角形CAE是全等的，它们具有相同的面积。然后通过巧妙的面积分割，将大正方形分解为若干个矩形和三角形。利用全等三角形面积相等的性质，以及矩形面积等于对应正方形面积的关系，最终通过几何变换和面积重组，严格证明了勾股定理。
让我们通过具体的数值例子来验证勾股定理。最著名的是3-4-5三角形，计算得3的平方加4的平方等于9加16等于25，正好等于5的平方。另一个经典例子是5-12-13三角形，5的平方加12的平方等于25加144等于169，恰好等于13的平方。这些勾股数在古代建筑和测量中有重要应用，工匠们用它们来构造精确的直角。