二次函数与一元二次方程 **函数与方程的关系：** 1. **零点与方程根的关系：** - 二次函数的零点就是对应一元二次方程的根 - 零点的个数由判别式Δ决定： - Δ > 0：两个不同的零点 - Δ = 0：一个重零点 - Δ < 0：没有零点 2. **图像与方程解的关系：** ```mermaid graph LR A[抛物线与x轴的交点] --> B[零点的个数] B --> C[方程的根的个数] A --> D[交点坐标] D --> E[方程的解] ``` **解题技巧：** 1. **利用图像解方程：** - 画出函数图像 - 找出与x轴的交点 - 读出交点的横坐标 2. **利用函数性质解不等式：** - 画出函数图像 - 找出函数值大于（小于）0的区间 - 写出不等式的解

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二次函数与一元二次方程有着密切的联系。对于二次函数y等于ax平方加bx加c，当函数值y等于0时，就得到了对应的一元二次方程ax平方加bx加c等于0。函数图像与x轴的交点称为零点，零点的横坐标就是方程的根。这样，我们就建立了函数与方程之间的基本联系。 判别式Delta等于b平方减4ac，它决定了二次函数零点的个数。当Delta大于0时，抛物线与x轴有两个不同的交点，对应两个不同的零点。当Delta等于0时，抛物线与x轴相切，只有一个重零点。当Delta小于0时，抛物线与x轴没有交点，方程没有实数根。通过这三个具体例子，我们可以清楚地看到判别式如何影响函数图像与x轴的交点情况。 图像法是求解一元二次方程的直观方法。以方程x平方减2x减3等于0为例，我们首先画出对应函数y等于x平方减2x减3的图像。这是一条开口向上的抛物线。然后找出抛物线与x轴的交点，可以看到有两个交点，坐标分别是负1逗号0和3逗号0。最后读出交点的横坐标，得到方程的根：x1等于负1，x2等于3。这样就完成了用图像法求解方程。 利用二次函数图像还可以求解一元二次不等式。对于函数y等于x平方减2x减3，我们已经知道它与x轴的交点是负1和3。当求解不等式x平方减2x减3大于0时，我们观察抛物线在x轴上方的部分，对应的x的取值范围是x小于负1或x大于3。当求解不等式x平方减2x减3小于0时，我们观察抛物线在x轴下方的部分，对应的x的取值范围是负1小于x小于3。这种方法直观明了，是解决二次不等式的有效途径。 通过综合例题来总结函数与方程的关系。已知二次函数f(x)等于x平方加mx加n的图像过点(1,0)和(3,0)，首先求参数m和n的值。由于这两点是函数的零点，代入得到两个方程：1加m加n等于0，9加3m加n等于0。解这个方程组得到m等于负4，n等于3。所以函数为f(x)等于x平方减4x加3。接下来解不等式f(x)小于等于0，由图像可知，当1小于等于x小于等于3时，函数值小于等于0。这个综合例题展示了函数与方程的密切关系，图像法是解决此类问题的有效工具。