视频字幕
同学们好！今天我们来学习高中数学中非常重要的概念——函数。函数就像是一台神奇的机器，当我们输入一个数值x时，它会按照特定的规则给出唯一确定的输出结果f(x)。比如说，你的身高会随着年龄的增长而变化，这就是一种函数关系。函数的核心特征是：对于每一个输入值，都有且仅有一个输出值与之对应。这种一一对应的关系，就是函数的本质。
同学们好！今天我们来学习高中数学中非常重要的概念——函数。函数就像一台神奇的机器，当我们输入一个数字时，它会按照特定的规则给出一个对应的结果。比如，如果我们的函数是x的平方，输入3，就会得到9。函数描述了输入和输出之间的对应关系。
现在让我们来学习函数的三种表示方法。第一种是解析式，就是用数学公式来表示函数，比如f(x)等于x的平方，这种方法简洁明了，便于计算。第二种是图像法，通过在坐标系中画出函数的图形来表示，这样可以直观地看出函数的性质和变化趋势。第三种是列表法，用表格的形式列出自变量和因变量的对应关系，这种方法适合表示离散的数据。每种方法都有自己的特点和适用场合。
接下来我们学习函数的定义域和值域。定义域是指自变量x可以取值的范围，而值域是指因变量f(x)可能取到的所有值的集合。以函数f(x)等于x的平方为例，如果我们限定x的取值范围在负2到正2之间，那么定义域就是负2到正2的闭区间。相应地，函数值的范围从0到4，所以值域是0到4的闭区间。理解定义域和值域有助于我们更好地掌握函数的性质。
现在我们来学习函数的单调性。函数的单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。如果在某个区间内，当x增大时f(x)也增大，我们就说函数在这个区间上是递增的。相反，如果当x增大时f(x)减小，函数就是递减的。通过观察函数图像，我们可以很直观地判断函数的单调性。理解单调性有助于我们分析函数的性质，解决相关的数学问题。
最后，让我们来认识一些常见的基本函数类型。一次函数的图像是一条直线，表达式为f(x)等于ax加b。二次函数的图像是抛物线，表达式为f(x)等于ax的平方加bx加c。反比例函数的图像是双曲线，表达式为f(x)等于k除以x。还有指数函数和对数函数等。这些基本函数各有特点，掌握它们的性质和图像特征，是学好高中数学函数部分的重要基础。希望同学们能够认真学习，打好基础。
现在我们来学习函数的定义域。定义域是指自变量x可以取值的范围。在求定义域时，我们需要特别注意几个条件：分母不能为零，根号下的表达式必须非负，对数的真数必须大于零。让我们通过一个具体例子来练习。考虑函数f(x)等于根号下x减1，除以x减2。首先，根号条件要求x减1大于等于零，所以x大于等于1。其次，分母条件要求x减2不等于零，所以x不等于2。综合这两个条件，函数的定义域是1到2的左闭右开区间，并上2到正无穷的开区间。
接下来我们学习函数的值域。值域是指函数所有可能的输出值组成的集合。求值域有多种方法，其中配方法特别适用于二次函数。让我们看一个例子：f(x)等于x的平方减2x加3，定义域是全体实数。首先进行配方，将原式变形为(x减1)的平方加2。由于(x减1)的平方大于等于0，所以f(x)大于等于2。因此函数的值域是2到正无穷的闭区间。从图像上看，这是一个开口向上的抛物线，顶点坐标是(1,2)，所以最小值是2，值域确实是2到正无穷。
现在我们来学习函数的单调性。单调性描述了函数值随自变量变化的规律。如果在某个区间内，当x1小于x2时，f(x1)也小于f(x2)，我们就说函数在这个区间上单调递增。相反，如果f(x1)大于f(x2)，函数就单调递减。让我们看一个例子：f(x)等于x的平方减2x加1。首先配方得到f(x)等于(x减1)的平方，这是一个顶点在(1,0)的抛物线。由于开口向上，在对称轴x等于1的左侧，函数单调递减；在右侧，函数单调递增。通过图像我们可以清楚地看到这种变化趋势。