二次函数的图像和性质 **核心概念：** - **二次函数**：形如 y = ax² + bx + c (a≠0) 的函数 - **抛物线**：二次函数的图像是一条抛物线 - **对称轴**：x = -b/(2a) - **顶点坐标**：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a)) **图像特征：** ```mermaid graph TD A[二次函数图像] --> B[开口方向] A --> C[对称性] A --> D[顶点位置] A --> E[单调性] B --> B1[a>0向上] B --> B2[a<0向下] C --> C1[对称轴] C --> C2[轴对称] D --> D1[顶点坐标] D --> D2[最值点] E --> E1[递增区间] E --> E2[递减区间] ``` **性质总结：** 1. **当 a > 0 时：** - 抛物线开口向上 - 有最小值 (4ac-b²)/(4a) - 在对称轴左侧递减，右侧递增 - 图像特点： ``` y ^ | ∪ | / \ | / \ | / \ +----------> x ``` 2. **当 a < 0 时：** - 抛物线开口向下 - 有最大值 (4ac-b²)/(4a) - 在对称轴左侧递增，右侧递减 - 图像特点： ``` y ^ | ∩ | / \ |/ \ +----------> x | ``` **图像变换规律：** 1. **平移变换：** - 向右平移h个单位：y = a(x-h)² + k - 向上平移k个单位：y = ax² + k - 综合平移：y = a(x-h)² + k 2. **伸缩变换：** - |a|>1时，图像在y方向上伸长 - 0<|a|<1时，图像在y方向上压缩 3. **对称变换：** - 关于y轴对称：x变为-x - 关于x轴对称：y变为-y - 关于原点对称：x,y同时变号 **实际应用案例：** 1. **物理应用：** 案例：抛物运动 ``` 物体的运动轨迹：h = -4.9t² + v₀t + h₀ 其中： h：高度（米） t：时间（秒） v₀：初速度（米/秒） h₀：初始高度（米） ``` 2. **工程应用：** 案例：桥梁设计 ``` 拱桥的形状：y = -ax² + h 其中： y：桥面高度 x：距离中心点的水平距离 h：桥的最大高度 a：决定桥的跨度 ``` 3. **经济应用：** 案例：利润最大化 ``` 利润函数：P = -ax² + bx - c 其中： P：利润 x：产量 a,b,c：常数（由市场决定） ```