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完全平方公式是代数中的重要公式,它描述了两数之和的平方等于各自平方加上两倍乘积。让我们通过展开过程来理解这个公式。首先将括号展开为两个因式相乘,然后分别展开每一项,最后合并同类项得到最终结果。
现在我们用几何图形来理解完全平方公式。想象一个边长为a加b的大正方形,它的面积就是括号a加b的平方。我们可以将这个大正方形划分为四个部分:一个边长为a的红色小正方形,面积为a的平方;一个边长为b的蓝色小正方形,面积为b的平方;还有两个长为a宽为b的绿色矩形,每个面积都是ab。
现在让我们将大正方形的四个部分分别拆解出来,清楚地展示每个部分。红色的a平方正方形代表公式中的a平方项,蓝色的b平方正方形代表b平方项,两个绿色的ab矩形分别代表公式中的两个ab项。当我们把这四个部分的面积相加时,就得到了a平方加2ab加b平方,这正好等于括号a加b的平方。
现在让我们将分解的四个部分重新拼回大正方形,来验证我们的公式。首先我们有红色的a平方正方形,加上蓝色的b平方正方形,再加上两个绿色的ab矩形。当我们把这些部分重新组合时,它们完美地拼成了边长为a加b的大正方形。这个动态的拼图过程清楚地展示了a平方加2ab加b平方确实等于括号a加b的平方,几何图形完美验证了代数公式的正确性。
现在让我们用具体的数值来验证完全平方公式。设a等于3,b等于2。根据公式,括号3加2的平方应该等于3的平方加2倍的3乘2加2的平方。左边计算:3加2等于5,5的平方等于25。右边计算:3的平方等于9,2倍的3乘2等于12,2的平方等于4,所以9加12加4等于25。通过面积图我们可以看到:红色正方形面积是9,两个绿色矩形面积各为6,蓝色正方形面积是4,总面积确实是25,完美验证了我们的公式。