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分数是数学中表示部分与整体关系的重要概念。分数由分子和分母组成，分母表示把整体平均分成多少份，分子表示取了其中的多少份。比如二分之一表示把整体分成2份，取其中1份。四分之三表示把整体分成4份，取其中3份。
分数的基本性质是分数运算的理论基础。当分子分母同时乘以或除以相同的非零数时，分数的值保持不变。利用这个性质，我们可以进行约分，将分数化为最简形式。比如二分之四可以约分为二分之一，六分之九可以约分为三分之二。我们也可以进行通分，将不同分母的分数化为相同分母，便于进行加减运算。
分数的加减运算有两种情况。对于同分母分数，运算很简单：分母保持不变，只需要将分子相加或相减。比如三分之一加三分之一等于三分之二。对于异分母分数，需要先进行通分，将它们化为同分母分数，然后再按同分母分数的方法计算。比如二分之一加三分之一，先通分得到六分之三加六分之二，结果是六分之五。
分数的乘除运算有明确的法则。分数乘法：分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。比如三分之二乘以四分之一等于十二分之二，约分后得到六分之一。我们可以用网格图直观理解，取三分之二的四分之一部分。分数除法：除以一个分数等于乘以它的倒数。比如四分之三除以五分之二，等于四分之三乘以二分之五。在计算时，我们可以先约分再相乘，这样计算更简便。
分数混合运算需要遵循严格的运算顺序。首先计算括号内的运算，然后进行乘除法，最后进行加减法。让我们通过一个综合例题来演示：括号内二分之三加四分之一，乘以五分之三，再减去六分之一。第一步，计算括号内的加法，通分后得到十二分之十一。第二步，进行乘法运算，得到二十分之十一。第三步，进行减法运算，通分后得到最终答案六十分之二十三。在计算过程中，要注意先约分再计算，寻找简便方法，每一步都要化简结果。