分式方程 **定义：**分母中含有未知数的方程叫做分式方程 **解法步骤：** 1. 在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程 2. 解这个整式方程 3. 检验：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则整式方程的解就是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解 **增根与去根：** - **增根**：使分式方程的分母为零的根叫做原分式方程的增根 - **去根**：在解方程的过程中，由于某些变形可能会丢失一些根，这些根叫做去根 **实际应用举例：** 1. **工程问题**：计算工作效率、完成时间等 - 例如：A、B两人合作完成工作的时间 = 1/(1/a + 1/b) 2. **物理问题**：计算电路中的电阻、电流等 - 例如：并联电阻 = 1/(1/R₁ + 1/R₂) 3. **经济问题**：计算成本、利润等 - 例如：平均成本 = 总成本/产量 **例题1：基本分式方程** 解方程：$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{3}{x(x+1)}$。 解析： 原方程：$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{3}{x(x+1)}$ 两边同乘以最简公分母 x(x+1)： $\frac{x(x+1)}{x} + \frac{x(x+1)}{x+1} = \frac{3 \cdot x(x+1)}{x(x+1)}$ $(x+1) + x = 3$ $2x + 1 = 3$ $2x = 2$ $x = 1$ 检验：当 x = 1 时，代入原方程的分母 x 和 x+1，得到 1 和 2，都不为零，所以 x = 1 是原方程的解。 **例题2：含有增根的分式方程** 解方程：$\frac{x+1}{x-2} = \frac{3}{x-2} - 1$。 解析： 原方程：$\frac{x+1}{x-2} = \frac{3}{x-2} - 1$ 移项整理： $\frac{x+1}{x-2} + 1 = \frac{3}{x-2}$ $\frac{x+1}{x-2} + \frac{x-2}{x-2} = \frac{3}{x-2}$ $\frac{x+1+x-2}{x-2} = \frac{3}{x-2}$ $\frac{2x-1}{x-2} = \frac{3}{x-2}$ 两边同乘以 x-2： $2x-1 = 3$ $2x = 4$ $x = 2$ 检验：当 x = 2 时，原方程的分母 x-2 = 0，所以 x = 2 不是原方程的解。 因此，原方程无解。 **例题3：分式方程应用题** 甲、乙两人合作完成一项工作，甲单独做需要6小时，乙单独做需要4小时，两人合作需要多少小时完成？ 解析： 设两人合作需要 x 小时完成工作。 甲的工作效率为 1/6，即每小时完成工作量的 1/6。 乙的工作效率为 1/4，即每小时完成工作量的 1/4。 两人合作的工作效率为 1/x，即每小时完成工作量的 1/x。 根据效率叠加原理：1/x = 1/6 + 1/4 解方程： 1/x = 1/6 + 1/4 1/x = (1×4 + 1×6)/(6×4) 1/x = 10/24 1/x = 5/12 x = 12/5 = 2.4 所以，两人合作需要 2.4 小时完成工作。