分式的运算 **基本性质：** 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变。 **运算法则：** 1. **约分**：把分式的分子与分母的公因式约去 - 例如：$\frac{3x^2y}{6xy^2} = \frac{3x}{6y} = \frac{x}{2y}$ 2. **通分**：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式 - 例如：$\frac{1}{a}$ 和 $\frac{1}{b}$ 通分为 $\frac{b}{ab}$ 和 $\frac{a}{ab}$ 3. **加减法**： - 同分母分式相加减，分母不变，分子相加减 - 异分母分式相加减，先通分，再相加减 - 例如：$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ - 例如：$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$ 4. **乘法**：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 - 例如：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ 5. **除法**：分式除以分式，等于被除式乘以除式的倒数 - 例如：$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$ **实际应用举例：** 1. **物理计算**：速度、加速度等物理量的计算 - 例如：平均速度 = 总距离/总时间 2. **经济计算**：单价、成本、利润等经济指标的计算 - 例如：单价 = 总价/数量 3. **工程应用**：材料配比、效率计算等 - 例如：混凝土配比 = 水泥量/砂石量 **例题1：分式的约分** 化简分式 $\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}$。 解析： $\frac{x^2-9}{x^2-6x+9} = \frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2} = \frac{x+3}{x-3}$（x ≠ 3） **例题2：分式的加减法** 计算 $\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1}$。 解析： $\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1}$ $= \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2 \cdot (x-1)}{(x+1)(x-1)}$ $= \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}$ $= \frac{x+1+2(x-1)}{(x-1)(x+1)}$ $= \frac{x+1+2x-2}{(x-1)(x+1)}$ $= \frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}$ **例题3：分式的乘除法** 计算 $\frac{x^2-4}{x-1} \times \frac{x-2}{x^2-1}$。 解析： $\frac{x^2-4}{x-1} \times \frac{x-2}{x^2-1}$ $= \frac{(x+2)(x-2)}{x-1} \times \frac{x-2}{(x+1)(x-1)}$ $= \frac{(x+2)(x-2)^2}{(x-1)^2(x+1)}$ $= \frac{(x+2)(x-2)^2}{(x-1)(x-1)(x+1)}$ $= \frac{(x+2)(x-2)^2}{(x-1)(x^2-1)}$ $= \frac{(x+2)(x-2)^2}{(x-1)(x+1)(x-1)}$ $= \frac{(x+2)(x-2)^2}{(x-1)^2(x+1)}$ $= \frac{(x+2)(x-2)^2}{(x-1)^2(x+1)}$ 化简后： $\frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)(x+1)}$（x ≠ ±1, x ≠ 2）