因式分解 **定义：**把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解 **基本方法：** 1. **提公因式法**： - 提取公共因式：ma + mb + mc = m(a + b + c) - 例如：3x² + 6x = 3x(x + 2) - 提取公共因式的最高次幂：x³ + x² = x²(x + 1) 2. **运用公式法**： - 平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b) - 例如：4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x+3)(2x-3) - 完全平方公式： - a² + 2ab + b² = (a+b)² - a² - 2ab + b² = (a-b)² - 例如：x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x+3)² 3. **分组分解法**： - 把多项式的各项分成几组，先提取每组的公因式，再进一步分解 - 例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y) **因式分解的步骤：** 1. 观察多项式的特点，确定使用哪种方法 2. 先尝试提取公因式 3. 如果是特殊形式，尝试使用公式法 4. 如果以上方法不适用，尝试分组分解 **实际应用举例：** 1. **代数方程求解**：通过因式分解简化方程 - 例如：x² - 5x + 6 = 0 分解为 (x-2)(x-3) = 0，得到 x = 2 或 x = 3 2. **几何问题**：分解复杂图形面积表达式 - 例如：一个矩形面积表达式 x² + 3x + 2 可分解为 (x+1)(x+2) **例题1：提公因式法** 分解：6x³ - 9x² + 3x 解析： 6x³ - 9x² + 3x = 3x(2x² - 3x + 1) **例题2：运用公式法** 分解：x² - 10x + 25 解析： x² - 10x + 25 = x² - 2·x·5 + 5² = (x - 5)² **例题3：分组分解法** 分解：xy - 3y + 2x - 6 解析： xy - 3y + 2x - 6 = y(x - 3) + 2(x - 3) = (y + 2)(x - 3) **例题4：综合运用** 分解：x³ - 4x 解析： x³ - 4x = x(x² - 4) = x(x² - 2²) = x(x + 2)(x - 2)