**bijection du plan dans lui-même**. Cela signifie que c'est une manière d'associer à chaque point du plan un autre point, de sorte que :
* Tout point du plan d'arrivée est l'image d'au moins un point du plan de départ (surjection).
* Deux points différents du plan de départ ont toujours des images différentes dans le plan d'arrivée (injection).
* En termes plus généraux, une bijection entre deux ensembles signifie qu'ils ont le même cardinal.
L'étude des transformations qui préservent certaines propriétés est un élément essentiel de la géométrie moderne. Les transformations géométriques ont la particularité de **conserver la plupart des propriétés géométriques intéressantes**. Par exemple, elles transforment une droite en une droite, un cercle en un cercle, et un angle de 42° en un angle de 42°.
Plus précisément, différentes catégories de transformations conservent des propriétés spécifiques :
* **Symétries (centrales et axiales) et translations** : Ces transformations conservent les droites, les cercles, les angles et les longueurs.
* **Homothéties** : Elles conservent les droites, les cercles, et les angles orientés. L'image d'une droite par une homothétie est parallèle à la droite originale. Une homothétie de rapport *k* multiplie toutes les longueurs par *|k|*, préservant ainsi les rapports de longueurs. Les symétries centrales sont un cas particulier d'homothéties de rapport -1.
* **Rotations** : Bien que non définies indépendamment comme bijections à part entière dans un aperçu général, elles sont mentionnées comme un type de transformation et peuvent être vues comme la composition de symétries axiales.
* **Similitudes directes** : Il s'agit d'une classe de transformations plus large qui inclut les translations, les rotations et les homothéties. Une similitude directe est une transformation du plan qui **conserve les angles orientés**, ce qui signifie qu'elle transforme des triangles en des triangles directement semblables. Toute similitude directe est soit une translation, soit elle est "centrée", c'est-à-dire qu'elle est la composition d'une rotation et d'une homothétie de même centre.
* **Similitudes indirectes** : Ces transformations envoient chaque angle orienté sur son opposé. Elles conservent également de nombreuses propriétés telles que les rapports de longueur, les angles non orientés, l'alignement, la cocyclicité, le parallélisme et l'orthogonalité.
Les transformations géométriques peuvent être composées (appliquer une transformation puis une autre), le résultat étant une nouvelle transformation. Par exemple, la composition de deux homothéties est soit une homothétie, soit une translation. De même, la composition de deux rotations est une rotation ou une translation. La composition de deux similitudes directes est aussi une similitude directe.
Il est parfois utile d'introduire une transformation (comme une homothétie ou une rotation) qui envoie un objet géométrique sur un autre pour simplifier un problème ou révéler des propriétés cachées.
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Une bijection du plan dans lui-même est une transformation fondamentale en géométrie. Elle associe à chaque point du plan de départ un unique point du plan d'arrivée. Cette correspondance respecte deux propriétés essentielles : la surjection, qui garantit que tout point d'arrivée possède au moins une préimage, et l'injection, qui assure que deux points différents du départ ont toujours des images différentes à l'arrivée.
Les transformations isométriques sont des bijections particulières qui conservent toutes les propriétés géométriques fondamentales. Elles incluent les symétries centrales et axiales, ainsi que les translations. Ces transformations préservent parfaitement les droites, les cercles, les angles et les longueurs. Un triangle subissant une translation, une réflexion ou une rotation conserve exactement sa forme et sa taille.
Les homothéties sont des transformations qui conservent les droites en les rendant parallèles, préservent les cercles et maintiennent les angles orientés. Cependant, elles modifient les longueurs selon un facteur d'échelle k. Une homothétie de rapport 2 double toutes les distances, tandis qu'un rapport 0.5 les divise par deux. Le cas particulier k égal moins un correspond à une symétrie centrale, qui inverse la direction mais conserve les distances.
Les similitudes directes forment une classe importante de transformations qui conservent les angles orientés. Elles transforment tout triangle en un triangle directement semblable. Une similitude directe est soit une simple translation, soit la composition d'une rotation et d'une homothétie ayant le même centre. Cette famille englobe les translations, les rotations et les homothéties, offrant une grande richesse de transformations géométriques.
Les similitudes indirectes constituent l'autre grande famille de similitudes. Leur caractéristique principale est qu'elles transforment chaque angle orienté en son opposé, inversant ainsi l'orientation des figures. Malgré cette inversion, elles conservent de nombreuses propriétés géométriques importantes comme les rapports de longueur, les angles non orientés, l'alignement, la cocyclicité, le parallélisme et l'orthogonalité.