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有限元方法是现代工程分析中最重要的数值计算技术之一。传统的解析方法只能处理简单几何形状和边界条件的问题，而实际工程中遇到的问题往往具有复杂的几何形状、材料性质和载荷条件。有限元方法的核心思想是将复杂的连续域离散化为有限个简单的单元，如图所示，连续的杆件被分割成多个小的单元，每个单元内部采用简单的近似函数来描述物理量的分布，通过单元之间的连接关系建立整体的数学模型，最终获得工程问题的数值解。
有限元离散化是将连续问题转化为离散问题的关键步骤。首先进行几何离散化，将复杂的几何形状划分为简单的单元，如三角形或四边形。每个单元通过节点相互连接，形成网格结构。接下来是物理量近似，在每个单元内部，用形函数来近似描述位移、温度等物理量的分布。形函数通常采用多项式形式，如线性或二次函数。最后建立数学方程，通过变分原理或加权余量法，将连续的微分方程转化为离散的代数方程组。节点编号和单元连接关系的建立是网格生成的重要环节。
单元分析是有限元方法的核心环节。以三角形单元为例，首先建立位移模式，用节点位移和形函数来表示单元内任意点的位移。然后推导应变-位移关系，通过几何方程将位移转换为应变。接着确定应力-应变关系，利用材料的本构方程建立应力与应变的联系。最关键的是应用虚功原理，通过变分方法推导出单元刚度矩阵。刚度矩阵反映了单元的力学特性，它将节点力与节点位移联系起来。图中显示了三角形单元的节点位移和应变分布，这些都是建立刚度矩阵的基础。
整体装配是有限元分析的关键步骤。首先将各个单元的刚度矩阵按照节点连接关系装配成整体刚度矩阵。装配过程遵循节点力平衡和位移连续性原则，相邻单元在共同节点处的位移必须相等，力必须平衡。然后施加边界条件，如固定约束和载荷条件，修改整体刚度矩阵和载荷向量。最终形成线性代数方程组，矩阵的大小等于结构的自由度数。求解这个方程组可以得到所有节点的位移，进而计算出各单元的应变和应力。图中显示了多个单元通过节点连接形成整体结构的过程。
以悬臂梁弯曲问题为例，展示有限元分析的完整流程。首先建立几何模型，定义梁的长度、高度等尺寸参数。然后进行网格划分，将连续的梁结构离散化为有限个矩形单元。接下来设置边界条件，在固定端施加约束，在自由端施加集中载荷。通过求解得到各节点的位移和各单元的应力分布。图中显示了原始几何形状、网格划分、变形后的形状以及应力云图。红色区域表示高应力区，蓝色区域表示低应力区。通过与解析解对比，可以验证有限元解的精度，网格越密，计算结果越精确。