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二次函数是数学中非常重要的函数类型。它的标准形式是f(x)等于ax²加bx加c，其中a不等于零。这里a是二次项系数，决定抛物线的开口方向和大小；b是一次项系数；c是常数项。例如，最简单的二次函数是f(x)等于x²，还有更复杂的形式如f(x)等于2x²加3x加1。二次函数的图像都是抛物线，具有独特的对称性质。
二次函数的图像具有独特的特征。首先，所有二次函数的图像都是抛物线形状。其次，开口方向由二次项系数a决定：当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。第三，抛物线具有对称性，关于对称轴完全对称。最后，a的绝对值越大，抛物线的开口就越窄；a的绝对值越小，开口就越宽。现在我们通过动态演示来观察这些特征。
二次函数的顶点和对称轴是其重要的几何特征。顶点坐标公式为：横坐标是负b除以2a，纵坐标是4ac减b²再除以4a。对称轴方程是x等于负b除以2a。让我们通过一个具体例题来演示：对于函数f(x)等于x²减4x加3，我们有a等于1，b等于负4，c等于3。对称轴的横坐标是负负4除以2乘1，等于2。将x等于2代入原函数，得到顶点坐标为(2, -1)。从图像中可以清楚地看到，抛物线在顶点处达到最小值，并且关于直线x等于2完全对称。
二次函数的平移变换遵循一定的规律。顶点式f(x)等于a乘以x减h的平方加k，其中(h, k)就是抛物线的顶点坐标。当h大于零时，抛物线向右平移h个单位；当h小于零时，向左平移。当k大于零时，抛物线向上平移k个单位；当k小于零时，向下平移。现在我们通过动画演示从基本抛物线y等于x²平移到y等于(x减2)²加1的过程。首先向右平移2个单位，然后向上平移1个单位，最终得到顶点在(2, 1)的抛物线。
二次函数在实际生活中有着广泛的应用。让我们通过一个商品定价问题来看看。某商品成本为10元每件，当售价为x元时，日销量为50减x件。我们要求最大利润及对应的售价。首先建立利润函数：利润等于售价减成本乘以销量，即P(x)等于(x减10)乘以(50减x)。展开后得到P(x)等于负x²加60x减500。这是一个开口向下的抛物线，顶点就是最大值点。顶点的横坐标是负60除以负2等于30，代入得最大利润为400元。因此，当售价定为30元每件时，可获得最大利润400元。