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硬币悖论是一个经典的几何问题。当我们让一个硬币沿着另一个相同大小的硬币边缘滚动时，会发现一个令人惊讶的现象：滚动的硬币竟然转了两圈，而不是我们直觉认为的一圈。让我们通过动画来观察这个有趣的现象。
让我们分析人们的直觉想法。通常认为，如果硬币沿着相同周长的路径滚动，应该只转一圈，就像硬币沿直线滚动一样。上方显示硬币沿直线滚动的情况，下方显示硬币沿圆形路径滚动。通过观察硬币上标记点的运动，我们可以清楚地看到两种情况的差异。
从数学角度分析，硬币悖论的关键在于理解两种运动的叠加。滚动硬币的总旋转等于自转加上公转。自转是硬币相对于自身轴心的旋转，公转是硬币中心绕固定硬币中心的旋转。红色箭头表示公转运动，绿色箭头表示自转运动。当硬币公转一圈时，同时也自转了一圈，因此总旋转是两圈。
现在进行严格的数学推导验证。设硬币半径为r，当硬币中心移动角度θ时，滚动距离等于2rθ。由于无滑动滚动，硬币自转角度等于滚动距离除以半径，即2θ。因此总旋转角度为θ加2θ等于3θ。但这里有个错误，实际的总旋转应该是2θ。当θ等于2π时，总旋转为4π，即两圈。
硬币悖论在实际生活中有广泛应用。在齿轮传动系统中，小齿轮绕大齿轮转动时也遵循同样的规律。在天体运动中，月球绕地球公转时，月球总是同一面朝向地球，这也体现了类似的原理。通用公式表明，总旋转等于固定圆半径加滚动圆半径的和除以滚动圆半径，再乘以公转圈数。当两圆半径相等时，总旋转就是公转的两倍。