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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它描述了直角三角形三边之间的关系：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理在中国古代被称为勾股定理，在西方被称为毕达哥拉斯定理。如图所示，在直角三角形中，我们用a和b表示两条直角边，用c表示斜边，那么它们满足关系式：a的平方加b的平方等于c的平方。
现在我们使用经典的正方形拼接方法来推导勾股定理。首先，我们构造一个边长为a加b的大正方形。然后在其中放置四个相同的直角三角形，每个三角形的两条直角边分别为a和b。这样，中间就形成了一个边长为c的小正方形。通过面积计算，大正方形的面积等于四个三角形的面积加上小正方形的面积。即：a加b的平方等于4倍的二分之一ab加上c的平方。展开后得到：a平方加2ab加b平方等于2ab加c平方。消去2ab，最终得出：a平方加b平方等于c平方。这就是勾股定理的公式。
现在我们通过具体例题来演示勾股定理的应用。第一个例题：已知两直角边求斜边。已知直角边a等于3，直角边b等于4，求斜边c。根据勾股定理，c的平方等于a的平方加b的平方，即c的平方等于3的平方加4的平方，等于9加16等于25，所以c等于5。第二个例题：已知一直角边和斜边求另一直角边。已知直角边a等于5，斜边c等于13，求直角边b。根据勾股定理变形，b的平方等于c的平方减a的平方，即b的平方等于13的平方减5的平方，等于169减25等于144，所以b等于12。这两个例题展示了勾股定理在解决直角三角形问题中的实际应用。
勾股定理在日常生活和工程中有广泛的应用。在建筑工程中，工人们经常使用3-4-5三角形来检验墙角是否垂直。因为3的平方加4的平方等于9加16等于25，正好等于5的平方，所以这是一个标准的直角三角形。在计算梯子靠墙的安全距离时，如果已知墙高3米，底部距离2米，可以用勾股定理计算梯子长度为根号13米。在GPS定位系统中，也使用勾股定理的原理来计算距离和确定位置。木工制作家具时，同样使用勾股定理来确保角度的准确性。这些应用充分体现了数学与生活的紧密联系。
勾股定理还有一个重要的逆定理：如果三角形的三边满足a平方加b平方等于c平方，那么这个三角形就是直角三角形。我们可以用一个例子来验证：已知三边长分别为5、12、13，我们计算5的平方加12的平方等于25加144等于169，而13的平方也等于169，因此这个三角形确实是直角三角形。在数学中，满足勾股定理的三个正整数被称为勾股数。常见的勾股数组合有：3、4、5；8、15、17；20、21、29等。这些勾股数在实际应用中非常有用，为我们提供了更全面的数学工具。勾股定理及其逆定理构成了完整的知识体系，在几何学中占有重要地位。