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椭圆是平面上到两个定点F₁、F₂距离之和为常数的点的轨迹。椭圆有三个重要参数：长半轴a、短半轴b和焦距的一半c。离心率定义为e等于c除以a，它描述了椭圆的扁平程度。离心率越大，椭圆就越扁平。
现在推导椭圆中a、b、c三个参数之间的基本关系。考虑椭圆上的短轴端点P，坐标为(0,b)。根据椭圆定义，P到两焦点的距离之和等于2a。通过计算可得P到每个焦点的距离都是根号下b平方加c平方。代入椭圆定义，得到2倍根号下b平方加c平方等于2a，化简后得到重要关系式：a平方等于b平方加c平方。
现在基于前面建立的关系，推导出离心率的不同表达形式。从离心率定义e等于c除以a出发，利用关系式a平方等于b平方加c平方，可得c平方等于a平方减b平方。两边开平方得c等于根号下a平方减b平方。代入离心率公式得到e等于根号下a平方减b平方除以a。另一种形式是通过变形得到e等于根号下1减b平方除以a平方。这些都是离心率的等价表达式。
现在分析离心率的取值范围及其几何意义。椭圆的离心率范围是0小于e小于1。下界分析：由于焦距c大于0，所以离心率e大于0。上界分析：由于焦距c小于长半轴a，所以离心率e小于1。当e趋向于0时，焦距c趋向于0，椭圆趋向于圆形。当e趋向于1时，焦距c趋向于a，椭圆变得非常扁长。总的来说，离心率越大，椭圆就越扁平。
现在扩展到双曲线的离心率，通过对比椭圆来加深理解。双曲线的离心率定义同样是e等于c除以a。但双曲线中参数关系不同：c平方等于a平方加b平方。推导双曲线离心率公式，得到e等于根号下1加b平方除以a平方。由于双曲线中c大于a，所以双曲线的离心率范围是e大于1。这与椭圆的0小于e小于1形成鲜明对比，体现了两种圆锥曲线的本质差异。