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张量是现代数学和物理学中的核心概念。我们从熟悉的标量开始：标量是0阶张量，比如温度25摄氏度，它只有大小没有方向。向量是1阶张量，比如速度向量，既有大小又有方向。而2阶张量，如应力张量，可以用矩阵表示，描述更复杂的物理量之间的关系。
张量的数学表示使用分量和指标记号。1阶张量用T上标i表示，是一个向量。2阶张量用T上标ij表示，可以写成矩阵形式。3阶张量有三个指标。爱因斯坦求和约定规定，当同一个指标在表达式中重复出现时，自动对该指标求和。上指标和下指标有不同的变换性质。
张量最重要的特性是坐标变换不变性。张量定义为在坐标变换下按特定规律变换的数学对象。向量作为1阶张量，其分量按雅可比矩阵变换。2阶张量的变换涉及两个雅可比矩阵。通过二维平面旋转的例子，我们可以看到坐标系旋转时，张量分量如何相应变化，但张量本身的物理意义保持不变。
张量有四种基本运算。张量加法要求同阶同型张量对应分量相加。数乘是每个分量乘以标量。张量积将两个向量组合成2阶张量，比如向量A和B的张量积得到矩阵C。缩并运算将张量的阶数降低，如2阶张量与单位张量缩并得到标量。缩并在物理中很重要，比如应力张量与法向量缩并得到应力向量。
张量微分学是张量分析的核心。张量场是空间中每点都有张量值的函数。普通偏导数不满足张量变换规律，因此需要协变导数。协变导数通过克里斯托费尔符号修正，确保结果仍是张量。克里斯托费尔符号由度规张量的偏导数构成。常见的微分算子包括梯度、散度和旋度，它们在物理学中描述标量场和向量场的变化。