角的平分线的性质 **核心概念：** - **角的平分线性质定理**：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 - **角的平分线判定定理**：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上 **定理的证明：** 1. **角的平分线性质定理证明**： 设角BAC的平分线是AD，P是AD上任意一点，从P点向AB、AC作垂线PH和PG。 在△APH和△APG中： ∠APH=∠APG=90°（垂线性质） AP=AP（公共边） ∠HAP=∠GAP（角平分线性质） 根据AAS判定法，△APH ≌ △APG 所以PH=PG，即P点到角的两边的距离相等 2. **角的平分线判定定理证明**： 设P点到角BAC的两边AB、AC的距离相等，即PH=PG（H在AB上，G在AC上，PH⊥AB，PG⊥AC） 连接AP，在△APH和△APG中： PH=PG（已知） ∠APH=∠APG=90°（垂线性质） AP=AP（公共边） 根据AAS判定法，△APH ≌ △APG 所以∠HAP=∠GAP，即AP是角BAC的平分线 **实际应用举例：** 1. **建筑设计**：利用角平分线性质设计等距离的观景点 2. **光学原理**：光线反射时入射角等于反射角的原理 3. **机械设计**：设计等角度分布的机械结构 **例题：角平分线性质应用** 如图，∠AOB=90°，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PA⊥OA，PB⊥OB，求证：PA=PB。 证明： OC是∠AOB的平分线，P是OC上的点 根据角的平分线性质定理，P点到角的两边OA和OB的距离相等 即PA=PB（P点到OA和OB的距离）