设数列$\left\{a_{n}\right\}$满足$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q$,且$|q|<1$,证明:$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 请给出详细解题过程的视频，并给出讲解语音。

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今天我们要证明一个重要的数列极限定理。已知数列a_n满足相邻项比值的极限等于q，且q的绝对值小于1，我们需要证明数列a_n的极限为0。这个定理在判断数列收敛性方面有重要应用。 现在我们来分析已知条件的精确含义。极限等于q意味着，对于任意小的正数ε，存在正整数N，使得当n大于N时，a_{n+1}与a_n的比值与q的差的绝对值小于ε。换句话说，当n足够大时，相邻项的比值可以任意接近q。 现在我们利用条件|q|小于1来构造关键不等式。由于|q|小于1，我们可以选择ε等于(1-|q|)/2，这样|q|加上ε就等于(1+|q|)/2，仍然小于1。设r等于|q|加ε，则0小于r小于1。根据极限定义，当n大于N时，a_{n+1}与a_n比值的绝对值小于r。这个构造是证明的关键步骤。 现在我们建立递推不等式。从|a_{n+1}/a_n|小于r出发，得到|a_{n+1}|小于r乘以|a_n|。继续应用这个不等式，我们有|a_{n+2}|小于r的平方乘以|a_n|，|a_{n+3}|小于r的三次方乘以|a_n|，以此类推。一般地，|a_{n+k}|小于r的k次方乘以|a_n|。这展现了几何级数的衰减特性，随着k增大，r的k次方趋于0。