设${f(x)}$是定义在${(-a, a)}$内的函数,证明:${f(x)}$可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和. 请给出详细解题过程的视频，并给出讲解语音。

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

我们要证明任意定义在关于原点对称区间内的函数，都可以分解为偶函数与奇函数之和。首先回顾定义：偶函数满足f负x等于f(x)，图像关于y轴对称；奇函数满足f负x等于负f(x)，图像关于原点对称。 现在我们构造偶函数部分。定义g(x)等于f(x)加f负x的和除以2。我们来验证g(x)确实是偶函数。计算g负x，等于f负x加f负负x的和除以2，即f负x加f(x)的和除以2，这正好等于g(x)。因此g(x)满足偶函数的定义。图中绿色曲线就是构造出的偶函数部分。