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我们来分析函数f(x)等于绝对值x乘以正弦x的绝对值再乘以e的余弦x次方。这个函数定义在整个实数轴上。它由三个基本函数复合而成：绝对值函数、三角函数和指数函数。我们需要逐一检验它是否具有单调性、周期性、奇偶性和有界性。
我们来分析函数f(x)等于绝对值x乘以sinx再乘以e的cosx次方。这个函数定义在整个实数轴上。题目要求判断这个函数具有哪种性质：是单调函数、周期函数、偶函数还是有界函数。我们将通过具体的数学分析来逐一验证每个选项。
现在分析函数的单调性。单调函数要求在整个定义域内要么单调递增要么单调递减。我们选取一些特殊点来验证：当x等于0时，函数值为0；当x等于π/2时，函数值大于0；当x等于π时，函数值又回到0。从这些点可以看出，函数既有递增也有递减的区间，因此不是单调函数。
接下来分析周期性。周期函数需要满足存在正数T使得对所有x都有f(x+T)等于f(x)。我们的函数由两部分组成：绝对值x乘sinx和e的cosx次方。其中e的cosx次方是周期函数，周期为2π，但绝对值x乘sinx不是周期函数，因为x的绝对值会无限增长。非周期函数与周期函数的乘积仍然是非周期函数，所以原函数不是周期函数。
现在验证偶函数性质。偶函数需要满足f(-x)等于f(x)。我们来计算：f(-x)等于负x乘以sin负x的绝对值乘以e的cos负x次方。由于负x乘以sin负x等于x乘以sinx，而cos负x等于cosx，所以f(-x)确实等于f(x)。从图像上也可以看出函数关于y轴对称，因此这是一个偶函数。
最后分析有界性。有界函数要求存在正数M使得函数值的绝对值小于等于M。当x趋向无穷时，绝对值x乘sinx会趋向无穷，而e的cosx次方是有界的，在1/e到e之间。因此整个函数会趋向无穷，所以函数是无界的。综合分析，函数不是单调函数、不是周期函数、不是有界函数，但是偶函数。因此答案是C。
现在检验函数的周期性。周期函数需要满足f(x+T)等于f(x)对所有x成立。虽然sinx和cosx都是周期为2π的周期函数，但是我们的函数中包含绝对值x这一项。当我们计算f(x+2π)时，会得到绝对值(x+2π)乘以sin(x+2π)乘以e的cos(x+2π)次方。由于绝对值(x+2π)不等于绝对值x，所以f(x+2π)不等于f(x)，因此函数不是周期函数。
现在判断函数的奇偶性。我们需要计算f(-x)并与f(x)比较。f(-x)等于负x乘以sin负x的绝对值乘以e的cos负x次方。利用绝对值、正弦和余弦函数的性质：负x的绝对值等于x的绝对值，sin负x等于负sinx，cos负x等于cosx。因此f(-x)等于x乘以sinx的绝对值乘以e的cosx次方，这正好等于f(x)。所以函数满足f(-x)等于f(x)，是偶函数。
最后分析函数的有界性。有界函数要求存在正数M使得函数值的绝对值小于等于M。我们分析函数各部分的取值范围：绝对值sinx在0到1之间，e的cosx次方在e的负1次方到e之间，都是有界的。但是绝对值x可以任意大。当x趋向无穷时，函数值会趋向无穷大，说明函数无界。因此函数不是有界函数。