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二次函数是数学中的重要函数类型,其一般形式为f(x)等于ax²加bx加c,其中a不等于0。二次函数的图像是抛物线。参数a决定抛物线的开口方向:当a大于0时开口向上,当a小于0时开口向下。a的绝对值越大,抛物线开口越窄。参数b和c影响抛物线在坐标系中的位置。
抛物线的顶点具有重要的几何意义。顶点是抛物线的最高点或最低点,它决定了二次函数的最值。当抛物线开口向上时,顶点是最低点,函数在此处取得最小值。当抛物线开口向下时,顶点是最高点,函数在此处取得最大值。顶点的横坐标对应抛物线的对称轴,纵坐标就是函数的最值。理解顶点的几何意义是掌握二次函数最值问题的关键。
现在我们通过配方法推导顶点公式。从二次函数的一般式f(x)等于ax²加bx加c开始,首先提取x²项的系数a,得到a乘以括号x²加b除以a乘以x,再加c。接下来在括号内配方,加上并减去b²除以4a²,得到完全平方式。化简后得到顶点式f(x)等于a乘以括号x减h的平方加k,其中h等于负b除以2a,k等于4ac减b²除以4a。这就是顶点坐标公式。
现在我们通过具体例题来应用顶点公式。以函数f(x)等于2x²减8x加5为例。首先确定参数:a等于2,b等于负8,c等于5。然后计算顶点横坐标:x等于负b除以2a,即负负8除以2乘以2,等于8除以4,等于2。接下来计算顶点纵坐标:将x等于2代入原函数,得到y等于2乘以4减8乘以2加5,等于8减16加5,等于负3。因为a等于2大于0,所以抛物线开口向上,函数有最小值。因此,函数的最小值为负3,在x等于2处取得。
掌握二次函数最值的判断规律对提高解题效率非常重要。规律很简单:当参数a大于0时,抛物线开口向上,顶点是最低点,函数有最小值。当参数a小于0时,抛物线开口向下,顶点是最高点,函数有最大值。我们可以用口诀来记忆:开口向上有最小,开口向下有最大,顶点坐标定位置,纵坐标就是最值。通过对比不同的抛物线图像,可以更直观地理解这一规律。