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斯塔克伯格模型是博弈论中的一个重要模型，由德国经济学家海因里希·冯·斯塔克伯格于1934年提出。该模型专门用于分析寡头市场中企业间的竞争行为。与古诺模型不同，斯塔克伯格模型的核心特征是存在明确的时间顺序：一个企业作为领导者先做出决策，另一个企业作为跟随者在观察到领导者的行为后再做出反应。这种先后决策的特点使得斯塔克伯格模型能够更好地描述现实中许多市场的竞争情况。
斯塔克伯格模型建立在五个核心假设基础上。首先是双寡头市场结构，即只有两个企业参与竞争。其次是产品同质性，两企业生产完全相同的产品。第三个关键假设是领导者先行动，存在明确的时间顺序。第四是完全信息假设，双方都完全了解市场需求函数和彼此的成本结构。最后是利润最大化目标，每个企业都追求自身利润的最大化。这些假设共同构成了模型分析的理论基础，使我们能够准确预测企业的行为和市场均衡结果。
现在我们来建立斯塔克伯格模型的完整数学框架。首先是市场需求函数，通常表示为P等于a减去b乘以总产量Q，其中Q等于两个企业的产量之和。成本函数假设为线性，每个企业的成本等于边际成本c乘以其产量。基于需求函数和成本函数，我们可以推导出每个企业的利润函数。企业1作为领导者的利润函数为价格乘以产量减去成本，企业2作为跟随者的利润函数形式相同。这些函数关系构成了模型分析的数学基础，为后续的均衡求解提供了框架。
斯塔克伯格均衡的求解采用逆向归纳法，这是博弈论中处理动态博弈的标准方法。首先，我们从跟随者的角度出发，求解其最优反应函数。跟随者观察到领导者的产量决策后，通过对自身利润函数求偏导并令其等于零，得到最优产量选择。这给出了跟随者产量关于领导者产量的反应函数。接下来，领导者在预知跟随者会如何反应的情况下，将反应函数代入自己的利润函数，通过求导得到自己的最优产量选择。最终得到斯塔克伯格均衡解，其中领导者的产量是古诺均衡产量的两倍，而跟随者的产量是古诺均衡产量的一半。
现在我们通过一个具体的数值例子来验证理论结果。假设市场需求函数的参数a等于100，b等于1，边际成本c等于10。首先求解跟随者的反应函数，将参数代入得到q2等于45减去0.5倍的q1。接下来求解领导者的最优产量，根据公式计算得到q1等于45。将领导者的产量代入反应函数，得到跟随者的最优产量q2等于22.5。市场均衡价格为32.5，领导者利润为1012.5，跟随者利润为506.25。这个数值例子清楚地展示了斯塔克伯格模型的求解过程和均衡结果。