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导数是微积分中的核心概念，它精确描述了函数在某一点的瞬时变化率。导数的定义是f撇x等于当h趋近于0时，f(x+h)减去f(x)除以h的极限。这个定义的几何意义是曲线在某点处切线的斜率。当我们让h逐渐变小时，割线逐渐接近切线，其斜率就趋近于该点的导数值。
指数函数y等于a的x次方具有许多重要的性质。首先是指数运算法则：a的x加y次方等于a的x次方乘以a的y次方。其次，任何正数的0次方都等于1。还有负指数性质：a的负x次方等于1除以a的x次方。以及幂的幂法则：a的x次方的y次方等于a的xy次方。从图像上看，指数函数是单调递增的连续函数，经过点(0,1)，以x轴为水平渐近线。这些性质将是我们推导指数函数导数公式的重要工具。
现在开始推导指数函数a的x次方的导数。首先，我们设f(x)等于a的x次方。根据导数的定义，f撇x等于当h趋近于0时，f(x+h)减去f(x)除以h的极限。将f(x)等于a的x次方代入，得到f撇x等于当h趋近于0时，a的x加h次方减去a的x次方，除以h的极限。接下来，我们利用指数运算法则，a的x加h次方等于a的x次方乘以a的h次方。因此，原式可以变形为f撇x等于当h趋近于0时，a的x次方乘以a的h次方减去a的x次方，除以h的极限。
接下来进行第二步变换。从f撇x等于当h趋近于0时，a的x次方乘以a的h次方减去a的x次方除以h的极限开始。我们可以提取公因子a的x次方，得到f撇x等于当h趋近于0时，a的x次方乘以括号a的h次方减1，除以h的极限。进一步整理，得到f撇x等于当h趋近于0时，a的x次方乘以a的h次方减1除以h的极限。由于a的x次方是与h无关的常数，根据极限的性质，可以将其提到极限符号外面，得到f撇x等于a的x次方乘以当h趋近于0时a的h次方减1除以h的极限。现在问题转化为求解这个关键极限。
现在我们来求解关键极限：当h趋近于0时，a的h次方减1除以h的极限。我们使用换元法来求解这个极限。设a的h次方减1等于t，那么h等于以a为底1加t的对数。当h趋近于0时，t也趋近于0。原极限就转化为当t趋近于0时，t除以以a为底1加t的对数的极限。这等于当t趋近于0时，1除以以a为底1加t的对数除以t的极限。根据重要极限的性质，这个极限等于1除以以a为底e的对数，也就是a的自然对数。因此，关键极限的值是ln a。