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回避制度是刑事诉讼法中的一项重要制度，其目的是防止审判人员、检察人员、侦查人员等因与案件存在利害关系或其他特殊关系而影响案件的公正处理。回避制度贯穿于刑事诉讼的各个阶段，包括侦查、起诉和审判阶段，是保障司法公正的重要法律机制。
刑事诉讼法第二十八条明确规定了法定回避的四种情形。第一种是审判人员、检察人员、侦查人员是本案当事人或者当事人的近亲属的。第二种是本人或者其近亲属和本案有利害关系的。第三种是担任过本案的证人、鉴定人、辩护人、诉讼代理人的。第四种是与本案当事人有其他关系，可能影响公正处理案件的。其中第三种情形是本案的关键，即同一人不能在同一案件中既担任鉴定人又担任其他诉讼职务。
现在我们来分析具体的案例事实。被告人赵某在庭审过程中提出，公诉人的书记员李某曾在侦查阶段担任鉴定人，并据此要求李某回避。这里的关键问题是李某的双重身份：他先是在侦查阶段担任鉴定人，后来在庭审阶段担任书记员。根据刑事诉讼法的规定，担任过本案证人、鉴定人的人员应当回避，李某的情况明显符合这一法定回避情形。
回避决定的程序和权限分配是有明确规定的。审判人员的回避由院长决定，检察人员的回避由检察长决定，侦查人员的回避由公安机关负责人决定。对于书记员、翻译人员、鉴定人等辅助人员，其回避决定由所属机关的负责人作出。在本案中，李某是检察院的书记员，因此其是否回避应当由检察院的检察长来决定，而不是由法庭直接决定。
现在我们来逐一分析四个选项。选项A认为不属于法定回避情形，这是错误的，因为李某曾担任鉴定人，明显符合刑事诉讼法规定的法定回避情形。选项B认为法庭应当庭做出回避决定，这也是错误的，因为法庭无权直接决定检察院人员的回避。选项C认为应由法院院长决定，这同样错误，院长只能决定审判人员的回避。选项D认为应由检察院检察长决定，这是正确的，因为李某是检察院的书记员，根据法律规定，检察院人员的回避应由检察长决定。因此，正确答案是D。