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死刑复核程序是人民法院对死刑案件进行最终审查的特殊程序。根据法律规定，死刑立即执行案件由最高人民法院核准，而死刑缓期执行案件由省级高级人民法院核准。这种核准权限的划分体现了审级对应原则，同时也决定了后续审判监督程序的启动权限。
让我们分析题目中的具体案例情况。市中级人民法院判处被告人死刑缓期执行，被告人没有上诉，检察机关也没有抗诉。该案经省高级人民法院核准后生效。但是被害人对判决结果不服，提出申诉，要求启动审判监督程序。这种情况下，我们需要确定由哪个机关来启动审判监督程序。
审判监督程序是对已经生效的判决进行再审的特殊程序。启动条件包括发现生效判决确有错误、违反法定程序影响案件正确判决，或者审判人员在审理案件时有违法行为。启动主体主要有三类：各级人民法院院长可以提交审判委员会处理，人民检察院可以提出抗诉，当事人可以提出申诉。不同的启动主体适用不同的程序规则。
死缓案件在审判监督程序中具有特殊性。根据核准权限决定监督权限的原则，由于死缓案件是由省级高级人民法院核准的，因此相应的审判监督程序也应当由省高级人民法院启动。这体现了审级对应原则和权限统一原则，即谁核准谁监督，避免了权限冲突，确保了程序的合法性。这与一般刑事案件由原审法院启动监督程序是不同的。
现在我们逐一分析四个选项。选项A，市人民检察院提出抗诉，这是错误的，因为检察院抗诉主要针对未生效的判决。选项B，省人民检察院提起审判监督程序，也是错误的，检察院无权直接启动审判监督程序。选项C，市中级人民法院院长提交本院审判委员会处理，同样错误，因为死缓案件已经由省高院核准，不再属于中级法院管辖。选项D，省高级人民法院院长提交本院审判委员会处理，这是正确答案，体现了核准权与监督权统一的原则。