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在审判阶段，当法院认为被告人有毁灭证据、串供或逃跑等可能时，可以依据刑事诉讼法相关条款决定对被告人实施逮捕。这种逮捕与侦查阶段的逮捕在程序上有所不同，需要遵循特定的法律规定和执行程序。
根据刑事诉讼法第九十四条的明确规定，逮捕由公安机关执行。这意味着无论是侦查阶段还是审判阶段，法院都不能自行执行逮捕。法院只是逮捕的决定机关，而公安机关才是执行机关。因此选项A法院可以自行执行逮捕是错误的。
在异地执行逮捕的情况下，根据公安机关办理刑事案件程序规定，可以委托当地公安机关执行逮捕。这样的规定既保证了逮捕的及时执行，又体现了执行的便民原则。因此选项B异地执行逮捕的可以由当地公安机关负责执行是正确的。
根据刑事诉讼法和相关司法解释的规定，逮捕执行后的讯问职责由执行逮捕的公安机关承担。法院作为审判机关，主要职责是审理案件和作出判决，不负责对被逮捕人进行讯问。因此选项C执行逮捕后应当由法院负责对某甲进行讯问是错误的。
根据刑事诉讼法第八十五条的规定，执行逮捕后应当由公安机关负责通知被逮捕人的家属，通知时限为二十四小时以内。综合分析各选项：选项A错误，法院不能自行执行逮捕；选项B正确，异地执行可由当地公安机关负责；选项C错误，讯问由公安机关负责；选项D正确，通知家属由公安机关负责。因此本题的正确答案是D。