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圆是平面几何中最基本的图形之一。圆的定义是：平面上距离某个固定点等距离的所有点组成的图形。这个固定点叫做圆心，用字母O表示。从圆心到圆上任意一点的距离叫做半径，用字母r表示。通过圆心连接圆上两点的线段叫做直径，直径等于两倍半径。现在让我们看看半径旋转一周是如何形成圆的。
在推导圆的面积之前，我们先回顾一下圆周长公式。圆的周长等于2π乘以半径，即C等于2πr。这里的π是一个重要的数学常数，约等于3.14159。我们可以想象将圆周展开成一条直线，这条直线的长度就是圆的周长。这个公式在后续的面积推导中将起到关键作用，特别是当我们使用扇形分割方法时。
现在我们使用分割重组法来推导圆的面积公式。首先将圆分割成16个相等的扇形，每个扇形都有相同的圆心角。然后我们将这些扇形重新排列，交替向上和向下放置，形成一个近似的平行四边形。当我们将扇形数量增加到无穷多个时，这个图形就会趋近于一个完美的矩形。这个矩形的长度等于圆周长的一半，即πr，宽度等于半径r，因此面积就是πr乘以r，等于πr的平方。
现在我们用积分方法从另一个角度推导圆的面积。我们将圆看作由无数个同心圆环组成。每个圆环的半径为r，厚度为dr，那么这个圆环的周长就是2πr，面积就是周长乘以厚度，即2πr乘以dr。要得到整个圆的面积，我们需要对所有这些圆环的面积进行积分，从0积分到R。计算这个积分，我们得到πR的平方，这就是圆的面积公式。这种方法从连续的角度理解圆的面积，与分割法形成了很好的互补。
现在让我们验证圆面积公式S等于πr²的正确性，并看看它的实际应用。当半径为1时，面积等于π，约3.14平方单位。当半径为2时，面积等于4π，约12.57平方单位。当半径为3时，面积等于9π，约28.27平方单位。我们可以看到，面积随着半径的平方而增长。这个公式在日常生活中有广泛应用，比如计算圆形花坛的面积、披萨的大小等。通过方格纸的对比，我们可以直观地验证计算结果的准确性。