Usa problemas simples donde encuentren la variación promedio y variación instantánea (por ejemplo, calcula la velocidad promedio e instantánea de un auto con datos de posición y tiempo).
Relaciona con las ideas de Newton sobre el movimiento.
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Newton revolucionó el estudio del movimiento desarrollando herramientas matemáticas para analizar el cambio. Consideremos un automóvil cuya posición está dada por la función s de t igual a 2 t al cuadrado más 3 t. Esta función nos permite calcular la posición del auto en cualquier momento. Por ejemplo, en t igual a 1 segundo, la posición es 5 metros; en t igual a 2 segundos, es 14 metros, y así sucesivamente.
La velocidad promedio representa la variación promedio de posición respecto al tiempo. Su fórmula es v promedio igual a delta s sobre delta t. Calculemos la velocidad promedio entre t igual a 1 y t igual a 3 segundos. La posición en t igual a 1 es 5 metros, y en t igual a 3 es 27 metros. Por tanto, v promedio es 27 menos 5, sobre 3 menos 1, igual a 22 sobre 2, igual a 11 metros por segundo. Entre t igual a 2 y t igual a 4 segundos, obtenemos 44 menos 14, sobre 4 menos 2, igual a 30 sobre 2, igual a 15 metros por segundo. Geométricamente, la velocidad promedio corresponde a la pendiente de la recta secante.
Para encontrar la velocidad instantánea, calculamos la velocidad promedio en intervalos cada vez más pequeños alrededor de t igual a 2 segundos. En el intervalo de 1.5 a 2.5 segundos, la velocidad promedio es 7 metros por segundo. Al reducir el intervalo a 1.9 a 2.1 segundos, obtenemos 6 metros por segundo. Con un intervalo aún más pequeño de 1.99 a 2.01 segundos, el resultado sigue siendo aproximadamente 6 metros por segundo. Observamos que estos valores se aproximan a un límite específico. Gráficamente, las rectas secantes se acercan cada vez más a la recta tangente en el punto t igual a 2.
La velocidad instantánea se define formalmente como el límite de la velocidad promedio cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Para nuestra función s de t igual a 2 t al cuadrado más 3 t, aplicamos la definición del límite. Expandiendo s de t más h, obtenemos 2 por t más h al cuadrado, más 3 por t más h. Al desarrollar y simplificar, factorizamos h del numerador y obtenemos el límite de 4 t más 2 h más 3, cuando h tiende a cero. El resultado es v de t igual a 4 t más 3. Evaluando en t igual a 2 segundos, obtenemos v de 2 igual a 4 por 2 más 3, igual a 11 metros por segundo. Este resultado coincide precisamente con nuestras aproximaciones anteriores, demostrando la precisión del método de Newton.
Resolvamos un problema completo con un objeto cuya posición está dada por s de t igual a t al cubo menos 6 t al cuadrado más 9 t. Primero calculamos la velocidad promedio entre t igual a 1 y t igual a 4 segundos. En t igual a 1, s de 1 es 1 menos 6 más 9, igual a 4 metros. En t igual a 4, s de 4 es 64 menos 96 más 36, igual a 4 metros. Por tanto, la velocidad promedio es 4 menos 4, sobre 4 menos 1, igual a 0 metros por segundo. Para la velocidad instantánea, derivamos s de t para obtener v de t igual a 3 t al cuadrado menos 12 t más 9. En t igual a 2, v de 2 es 3 por 4 menos 12 por 2 más 9, igual a menos 9 metros por segundo. La velocidad negativa indica que el objeto se mueve hacia atrás en ese instante, ilustrando cómo las herramientas de Newton nos permiten analizar completamente el movimiento.