视频分镜脚本：《幂函数的导数》 1. 情景导入 镜头 1 画面：一位学生正努力搬一个很大的箱子，脸上满是汗水。 动画效果：箱子上出现动态文字 “重量变化？” 旁白/老师： “同学们，你有没有想过，有些东西会变，比如——这个箱子的重量会因为书多少而变化。” 镜头 2 画面：切换到曲线图（如 $x^2$），曲线在屏幕上生长。 动画效果：曲线上出现一个小箭头，表示“变化速度”。 旁白： “数学里，我们研究‘变化有多快’，就是在研究导数。今天，我们要研究最常见的曲线之一——幂函数的变化速度公式！” 2. 知识精讲 镜头 3 画面：黑板背景，逐渐写出公式 ( 𝑥 𝛼 ) ′ = 𝛼 𝑥 𝛼 − 1 , 𝛼 ∈ 𝑅 ,   𝛼 ≠ 0 (x α ) ′ =αx α−1 ,α∈R, α  =0 动画效果：指数 $\alpha$ “跳下来”到前面，然后“帽子”样地往下移一个（减 1 的动画）。 旁白： “这就是幂函数的导数公式——把指数搬下来，再减 1。” 镜头 4 画面：$x^2 \to 2x^1$ 的动态变化演示。 旁白： “比如 $\alpha=2$，$y = x^2$，导数就是 $2x$。” 镜头 5 画面：$\sqrt{x}$ 变成 $x^{\frac12}$ 的动画。 旁白： “有根式时，先把它换成分数幂，比如 $\sqrt{x} = x^{\frac12}$。” 镜头 6（推导简述） 画面：极限符号和二项式展开的卡通演示，快速闪过推导步骤。 旁白： “这个公式不是魔法，是极限推出来的，不过今天我们直接记住它就行。” 3. 例题讲解 例题 1：$y = x^5$ 画面：公式 $y'=?$ 出现，数字“5”跳到前面，指数减 1。 动画效果：$x^5 \to 5x^4$ 旁白： “整数幂直接套公式——5x⁴，完事！” 例题 2：$y = \sqrt{x}$ 画面：根号自动变成 $x^{1/2}$。 动画效果：指数 $\frac12$ 跳下来，减 1 变成 $-\frac12$。 旁白： “根式换分数幂，再套公式——$\frac12 x^{-\frac12}$，也就是 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$。” 例题 3：$y = \frac{1}{x^3}$ 画面：分母 $x^3$ 变成 $x^{-3}$。 动画效果：$x^{-3} \to -3x^{-4}$，再变成 $-\frac{3}{x^4}$。 旁白： “负指数也能直接用公式，记得结果可能有负号。” 4. 归纳总结 镜头 7 画面：黑板上手写出口诀： “指数搬下来，指数减一个；根式转分数幂，负幂照样不害怕。” 动画效果：每句口诀出现时伴随对应的公式动画。 旁白： “幂函数求导数，简单直接，遇到它就能‘秒杀’。” 镜头 8 画面：回顾三类例题的公式变化动画，快速闪过。 旁白： “今天，我们掌握了幂函数的导数公式、根式处理方法，还有负指数的应用。下次见到它，直接开干！”