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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它告诉我们，在任何直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们用字母a和b表示两条直角边，用c表示斜边，那么勾股定理可以表示为a的平方加b的平方等于c的平方。让我们来看看这个直角三角形，其中a是底边，b是高，c是斜边。
现在让我们通过面积来直观理解勾股定理。我们在直角三角形的三条边上分别构造正方形。以直角边a为边长的红色正方形，面积是a的平方。以直角边b为边长的绿色正方形，面积是b的平方。以斜边c为边长的黄色正方形，面积是c的平方。勾股定理告诉我们，两个小正方形的面积之和，正好等于大正方形的面积。这就是a平方加b平方等于c平方的几何意义。
让我们通过具体的数值例子来验证勾股定理。最著名的例子是3-4-5直角三角形。我们计算：3的平方等于9，4的平方等于16，5的平方等于25。9加16确实等于25，验证了勾股定理。另一个经典例子是5-12-13三角形。5的平方是25，12的平方是144，13的平方是169。25加144等于169，再次验证了勾股定理的正确性。这些具体的数值例子帮助我们建立对定理的信心。
现在我们用面积重排的方法来证明勾股定理。我们构造一个边长为a加b的大正方形。在这个大正方形内部，我们可以放置四个全等的直角三角形和一个边长为c的小正方形。大正方形的面积是a加b的平方，等于a平方加2ab加b平方。同时，这个面积也等于四个三角形的面积加上中间小正方形的面积，即4乘以二分之一ab加c平方，也就是2ab加c平方。因此我们有a平方加2ab加b平方等于2ab加c平方。消去两边的2ab，就得到了a平方加b平方等于c平方，这就是勾股定理。
现在我们用相似三角形的方法来证明勾股定理。从直角三角形的斜边上作高，这条高将原三角形分割成两个小三角形。关键观察是：这三个三角形都是相似的。利用相似三角形对应边成比例的性质，我们可以建立比例关系。a比c等于c比b1，因此a的平方等于c乘以b1。同样，b比c等于c比b2，所以b的平方等于c乘以b2。将两式相加，得到a平方加b平方等于c乘以b1加c乘以b2，也就是c乘以b1加b2的和。而b1加b2正好等于c，所以最终得到a平方加b平方等于c平方。这种证明方法巧妙地结合了几何和代数。