讲一下这道题---**Question 1** **(Source/Label):** 2025·高考真题 (2025 Gaokao Real Exam Question) **Question Stem:** 已知函数 $f(x) = ax - (\ln x)^2$. (Given the function $f(x) = ax - (\ln x)^2$.) **(1)** 当 $a = 1$ 时, 求 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程; (When $a = 1$, find the equation of the tangent line to $f(x)$ at the point $(1, f(1))$;) **(2)** $f(x)$ 有 $3$ 个零点, $x_1, x_2, x_3$ 且 ($x_1 < x_2 < x_3$). ($f(x)$ has 3 zeros, $x_1, x_2, x_3$ and ($x_1 < x_2 < x_3$).) (i) 求 $a$ 的取值范围; (Find the range of $a$;) (ii) 证明: $(\ln x_2 - \ln x_1) \cdot \ln x_3 < \frac{4e}{e-1}$. (Prove: $(\ln x_2 - \ln x_1) \cdot \ln x_3 < \frac{4e}{e-1}$.)

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这是一道2025年高考真题，涉及函数f(x)等于ax减去ln x的平方。函数定义域为x大于0。题目分为三个部分：第一部分求当a等于1时的切线方程，第二部分分析函数有三个零点时参数a的取值范围，第三部分证明零点之间的复杂不等式关系。这类问题综合考查了导数、零点理论和不等式证明等多个知识点。 现在求解第一问。当a等于1时，函数变为f(x)等于x减去ln x的平方。首先求导数，f'(x)等于1减去2ln x除以x。在点(1, f(1))处，f(1)等于1减去ln 1的平方等于1，因为ln 1等于0。f'(1)等于1减去2倍ln 1除以1等于1。所以切点坐标是(1,1)，切线斜率是1。根据点斜式，切线方程为y减1等于1乘以x减1，化简得y等于x。图中红线就是所求的切线。 为了分析零点，我们将方程ax等于ln x的平方转化为研究函数g(x)等于ln x的平方除以x的性质。对g(x)求导，得到g'(x)等于2ln x减去ln x的平方，再除以x的平方，可以因式分解为ln x乘以2减ln x，再除以x的平方。令导数等于0，得到ln x等于0或ln x等于2，即x等于1或x等于e的平方。在x等于e的平方处，g(x)取得极大值4除以e的平方。这个函数的图像帮助我们理解零点的分布规律。 现在分析参数a的取值范围。直线y等于a与曲线y等于g(x)的交点个数决定了零点个数。根据g(x)的单调性：在区间0到1上递减，在1到e平方上递增，在e平方到正无穷上递减。g(1)等于0，g(e平方)等于4除以e平方是极大值。当x趋于0正时g(x)趋于正无穷，当x趋于正无穷时g(x)趋于0。要使直线与曲线有三个交点，必须0小于a小于4除以e平方。图中红线演示了不同a值对应的交点情况。 现在建立三个零点之间的关系。根据函数性质，三个零点满足0小于x1小于1小于x2小于e平方小于x3。由零点方程可知ax1等于ln x1的平方，ax2等于ln x2的平方，ax3等于ln x3的平方。注意到ln x1小于0，ln x2大于0，ln x3大于2。为了方便处理，我们进行变量替换：设t1等于负ln x1大于0，t2等于ln x2大于0，t3等于ln x3大于2。这样目标不等式转化为证明t1加t2乘以t3小于4e除以e减1。