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三次方程是数学中重要的多项式方程，其标准形式为ax³+bx²+cx+d=0，其中a不等于0。三次方程的图像是一条连续的曲线，最多与x轴有3个交点，对应方程的3个实根。例如方程x³-6x²+11x-6=0就有三个根：1、2和3。理解三次方程的基本概念是学习求解方法的基础。
因式分解法是求解三次方程的重要方法。对于x³-8=0，我们利用立方差公式，将其分解为(x-2)(x²+2x+4)=0，得到解x=2。对于x³-3x²+2x=0，首先提取公因式x，得到x(x²-3x+2)=0，再将二次因式分解为x(x-1)(x-2)=0，最终得到三个解：x=0、1、2。通过图像可以直观看到这些根就是函数与x轴的交点。
试根法是求解整系数三次方程的有效方法。根据有理根定理，方程的有理根必须是常数项的因数除以首项系数的因数。对于方程x³-6x²+11x-6=0，常数项-6的因数有±1、±2、±3、±6。我们逐一代入验证，发现x=1时方程成立，因此x-1是一个因式。通过多项式除法，可以将原方程分解为(x-1)(x²-5x+6)=0的形式，为进一步求解奠定基础。
现在我们综合运用前面学到的方法，完整求解三次方程x³-6x²+11x-6=0。首先用试根法找到x=1是一个根，然后通过多项式除法得到(x-1)(x²-5x+6)=0。接着对二次因式x²-5x+6继续分解，得到(x-2)(x-3)=0。最终完全分解为(x-1)(x-2)(x-3)=0，求得三个根：x₁=1，x₂=2，x₃=3。我们可以通过代入验证每个根都满足原方程，图像上也清楚显示了这三个交点。
特殊类型的三次方程有其独特的解法。对于缺常数项的方程如x³-4x=0，我们首先提取公因式x，得到x(x²-4)=0，再利用平方差公式分解为x(x-2)(x+2)=0，得到三个根：0、2、-2。对于立方差形式如x³-27=0，利用立方差公式分解为(x-3)(x²+3x+9)=0，由于x²+3x+9在实数范围内无解，所以只有一个实根x=3。掌握这些特殊类型的处理方法，能够更高效地求解三次方程。